\\\\(
\nonumber
\newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$}
\newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}}
\newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}}
\newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace}
\newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}}
\newcommand{\eqnl}{}
\newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}}
\newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}}
\newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}}
\newcommand{\am}{\mathrm{am}}
\newcommand{\gm}{\mathrm{gm}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\mU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\mA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\mB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\mC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\mD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\mE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\mF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\mK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\mI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\mM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\mN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\mT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\mV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\mW}{\mathbf{W}}
\newcommand{\mX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\ma}{\mathbf{a}}
\newcommand{\mb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\mc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\md}{\mathbf{d}}
\newcommand{\me}{\mathbf{e}}
\newcommand{\mn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\mr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\mv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\mw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\mx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}}
\newcommand{\my}{\mathbf{y}}
\newcommand{\mz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\reel}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}}
\newcommand{\mnul}{\mathbf{0}}
\newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)}
\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}
\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}}
\newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}}
\newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}}
\newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}}
\newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}}
\newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}}
\newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}}
\newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}}
\newcommand{\IS}{\operatorname{I}}
\newcommand{\IIS}{\operatorname{II}}
\newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}}
\newcommand{\Le}{\operatorname{L}}
\newcommand{\app}{\operatorname{app}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\compl}{\mathbb{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\\\\)
$\,\displaystyle{\frac{2^{-1}\cdot 2^4\cdot (2^3)^{-2}}{2^{-5}}\,\,.}\,$
A
Vi har defineret cosinus og sinus ved hjælp af enhedscirklen. Genkald dig hvordan. Betragt nu en vilkårlig retvinklet trekant. Vis hvordan vi ved hjælp af den definition kan vise:
B
En retvinklet trekant har siderne $\,a=1\,$ , $b=\sqrt{3}\,$ og $c=2\,.$ Hvad er vinklernes eksakte værdi udtrykt i radianer?
Show answer
$A=\frac{\pi}{6}$ , $B=\frac{\pi}{3}$ , $C=\frac{\pi}{2}$
C
Den vigtige trigonometriske formel
$$\,\cos(v)^2+\sin(v)^2=1\,$$
omtales ofte som idiotreglen . Hvilke matematiske forklaringer kan der være på det lidet flatterende navn?
A
Angiv tallene $\,\displaystyle{\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{2}\right),\,\mathrm{Arcsin}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \mathrm{Arcsin}(1)}\,.$
Show answer
$\frac{1}{3} \, \pi$ , $-\frac{1}{3} \, \pi$ , $\frac{1}{2} \, \pi$ .
Der er givet mængderne $\,A=\left{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,0\,,\,2\pi\,\right]\right}\,$ og $\,B=\left{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\right}\,.$
B
Løs ligningen $\,\displaystyle{\cos(x)=\frac{1}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$
Show answer
$\,\frac{\pi}{3}\,$ og $\,\frac{5\pi}{3}\,.$
$\,\frac{-\pi}{3}\,$ og $\,\frac{\pi}{3}\,.$
$\,\frac{-\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,$ og $\,\frac{\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,$ hvor $\,p \in \Bbb Z\,.$
C
Løs ligningen $\,\displaystyle{\sin(x)=-\frac{\sqrt 3}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$
Show answer
$\,\frac{4\pi}{3}\,$ og $\,\frac{5\pi}{3}\,.$
$\,\frac{-2\pi}{3}\,$ og $\,-\frac{\pi}{3}\,.$
$\,\frac{4\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,$ og $\,\frac{5\pi}{3}+p\cdot 2\pi\,$ hvor $\,p \in \Bbb Z\,.$
D
Løs ligningen $\,\displaystyle{\mathrm e^{\,i\cdot v}= \frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\,i\,}\,$ inden for mængderne $\,A\,$ og $\,B\,.$
Show answer
$\,\frac{5\pi}{3}\,.$
$\,-\frac{\pi}{3}\,.$
%####### begin:question
%Løs ligningen $\,\displaystyle{\cos(x)=-\frac 1 5}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$
%####### end:question
A
Omskriv de følgende udtryk til tal på formen $\,a^p\,$ hvor $\,a\,$ er et positivt reelt tal og $\,p\in \mathbb Z$ :
$$
3^2\cdot 3^{3}\,,\,\,(5^8)^{-2}\,,\,\,3^2\cdot 3^{-5}\,,\,\,\frac{4^{1.3}}{4^{2.3}}
\,,\,\,\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot 6^5
\,,\,\,\frac{5^3}{0.5^3}\,.
$$
Show answer
$$3^5\, ,\, 5^{-16}\, ,\, 3^{-3}\, ,\, 4^{-1}\, ,\, 3^5\, ,\, 10^3$$
A
Givet $z=1+i\,.$ Bestem absolutværdien og et argument for $z$ , og bestem ved hjælp heraf absolutværdi og et argument for tallene
$$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$$
Angiv endelig den rektangulære form for
$$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$$
Show answer
Idet vi betragter ligningens højreside, må der gælde
$|z|=\sqrt{2} \, , \, \arg(z)=\frac{\pi}{4}$ .
Generelt: $|z^n|=(\sqrt{2})^n \, , \, \arg(z^n)=n \, \frac{\pi}{4}$ .
Nu kan eksponentiel form opstilles, hvorfra vi med eksemplet $\,z^2\,$ kommer til rektangulær form via Eulers formel:
$$
z^2=(\sqrt 2)^2\,\mathrm{e}^{i2\,\frac{\pi}{4}}=2\,\mathrm{e}^{i\,\frac{\pi}{2}}
=2(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))=2i\,.$$
A
Løs de binome ligninger
$${z}^2 = -4\,\,,\,\,{z}^2 = i\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,{z}^2 = 1-i\,.$$
Skitsér løsningerne i den komplekse talplan.
Show answer
lign 1: $\, \, z=2i \, \, $ og$ \, \, z=-2i$ ,
lign 2: $\, \, z=\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \, \, $ og$ \, \, z=-\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$ ,
lign 3: $\, \, z=2^{\frac{1}{4}}(\cos(\frac{\pi}{8})-i\sin(\frac{\pi}{8})) \, \, $ og$ \, \, z=2^{\frac{1}{4}}(-\cos(\frac{\pi}{8})+i\sin(\frac{\pi}{8}))$
B
Løs de binome ligninger
$z^3=1$
$z^3=i$
$z^3=1+i$
og skitsér løsningerne i den komplekse talplan.
Show answer
lign 1: $\, \, z_0=1, \, \, z_1=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \, \, $ og$ \, \, z_2=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
lign 2: $\, \, z_0=-i, \, \, z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \, \, $ og$ \, \, z_2=\frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$
lign 3: $\, \, z_0=2^{\frac{1}{6}}(\cos(\frac{\pi}{12})+i\sin(\frac{\pi}{12})), \, \, z_1=2^{\frac{1}{6}}(\cos(\frac{3 \pi}{4})+i\sin(\frac{3 \pi}{4})) \, \, $ og$ \, \, z_2=2^{\frac{1}{6}}(\cos(\frac{17 \pi}{12})+i\sin(\frac{17\pi}{12}))$ .
A
En mængde har ved tiden $t=0 $ størrelsen $b$ og vokser med $\,20\%\,$ pr. tidsenhed. Bestem tallet $a$ således at funktionsudtrykket
$$\,f(t)=b\cdot a^t\,,\,\,t\in\reel$$
kan betragtes som en model for væksten.
B
Bestem vækstraten og den procentuelle vækst pr. tidsenhed for de eksponentielt voksende/aftagende funktioner som er givet ved funktionsudtrykkene:
$$f(t)=2^t\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,h(t)=0.5^{\,2-t}\,,\,\,t\in \reel.$$
Show answer
Vækstraten for $f$ er $100 \%$ og vækstraten for $h$ er $100 \%$
C
På figuren er vist grafen for tre eksponentialfunktioner. Angiv deres grundtal, og skriv hver af dem på formen
$$\,x\rightarrow \e^{kx}\,,\,\,x\in \reel$$
hvor $\e$ er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion og $k$ er et reelt tal.
Show answer
Blå $a=4\, ,\, k=\ln(4)=2\ln(2)$ , Grøn $a=\frac{1}{4}\, ,\, k=\ln(\frac{1}{4})=-2\ln(2)$ , Rød $a=2\, ,\, k=\ln(2)$
%### Omvendte funktioner (advanced)\label{U2LD6}
%####### begin:question
%Den naturlige logaritme indføres som den omvendte funktion til funktionen
$$\,x\rightarrow \e^x\,,\,\,x\in \reel\,.$$
Bevis regnereglerne
%
$$\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\ln(c^n)=n\ln(c)$$
%hvor $a,\,b$ og $c$ er positive reelle tal og $n$ er et helt tal.
%####### end:question
Reducér $\,\displaystyle{\frac{2^{-1}\cdot 2^4\cdot (2^3)^{-2}}{2^{-5}}\,\,.}\,$