EU02L-OPG

$\nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\$

Reducér $\,\displaystyle{\frac{2^{-1}\cdot 2^4\cdot (2^3)^{-2}}{2^{-5}}\,\,.}\,$

Vi har defineret cosinus og sinus ved hjælp af enhedscirklen. Genkald dig hvordan. Betragt nu en vilkårlig retvinklet trekant. Vis hvordan vi ved hjælp af den definition kan vise:

Cosinus til en spids vinkel i trekanten er den hosliggende katete divideret med hypotenusen.
Sinus til en spids vinkel i trekanten er den modstående katete divideret med hypotenusen.

En retvinklet trekant har siderne $\,a=1\,$ , $b=\sqrt{3}\,$ og $c=2\,.$ Hvad er vinklernes eksakte værdi udtrykt i radianer?

Den vigtige trigonometriske formel

$\,\cos(v)^2+\sin(v)^2=1\,$

omtales ofte som idiotreglen. Hvilke matematiske forklaringer kan der være på det lidet flatterende navn?

Angiv tallene $\,\displaystyle{\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{2}\right),\,\mathrm{Arcsin}\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \mathrm{Arcsin}(1)}\,.$

Der er givet mængderne $\,A=\left{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,0\,,\,2\pi\,\right]\right}\,$ og $\,B=\left{x\in\reel\,|\,x\in \left[\,-\pi\,,\,\pi\,\right]\right}\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\cos(x)=\frac{1}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\sin(x)=-\frac{\sqrt 3}{2}}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$

Løs ligningen $\,\displaystyle{\mathrm e^{\,i\cdot v}= \frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}\,i\,}\,$ inden for mængderne $\,A\,$ og $\,B\,.$

%####### begin:question %Løs ligningen $\,\displaystyle{\cos(x)=-\frac 1 5}\,$ inden for hver af mængderne $\,A,\,B\,$ og $\,\Bbb R\,.$ %####### end:question

Omskriv de følgende udtryk til tal på formen $\,a^p\,$ hvor $\,a\,$ er et positivt reelt tal og $\,p\in \mathbb Z$ :

$3^2\cdot 3^{3}\,,\,\,(5^8)^{-2}\,,\,\,3^2\cdot 3^{-5}\,,\,\,\frac{4^{1.3}}{4^{2.3}} \,,\,\,\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot 6^5 \,,\,\,\frac{5^3}{0.5^3}\,.$

Givet $z=1+i\,.$ Bestem absolutværdien og et argument for $z$ , og bestem ved hjælp heraf absolutværdi og et argument for tallene

$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$

Angiv endelig den rektangulære form for

$z^2\,,z^5\,,z^8\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, z^{-10}\,.$

Løs de binome ligninger

${z}^2 = -4\,\,,\,\,{z}^2 = i\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,{z}^2 = 1-i\,.$

Skitsér løsningerne i den komplekse talplan.

Løs de binome ligninger

$z^3=1$
$z^3=i$
$z^3=1+i$

og skitsér løsningerne i den komplekse talplan.

En mængde har ved tiden $t=0$ størrelsen $b$ og vokser med $\,20\%\,$ pr. tidsenhed. Bestem tallet $a$ således at funktionsudtrykket

$\,f(t)=b\cdot a^t\,,\,\,t\in\reel$

kan betragtes som en model for væksten.

Bestem vækstraten og den procentuelle vækst pr. tidsenhed for de eksponentielt voksende/aftagende funktioner som er givet ved funktionsudtrykkene:

$f(t)=2^t\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,h(t)=0.5^{\,2-t}\,,\,\,t\in \reel.$

På figuren er vist grafen for tre eksponentialfunktioner. Angiv deres grundtal, og skriv hver af dem på formen

$\,x\rightarrow \e^{kx}\,,\,\,x\in \reel$

hvor $\e$ er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion og $k$ er et reelt tal.

%### Omvendte funktioner (advanced)\label{U2LD6}
%####### begin:question
%Den naturlige logaritme indføres som den omvendte funktion til funktionen 
$$\,x\rightarrow \e^x\,,\,\,x\in \reel\,.$$
 Bevis regnereglerne
%
$$\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\ln(c^n)=n\ln(c)$$

%hvor $a,\,b$ og $c$ er positive reelle tal og $n$ er et helt tal.
%####### end:question