\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Dagens wetware-opgave

tandborste2.png

Differentiér $\,(x^2+7)^{13}\,$.

Opg 2: Afledet funktion

A

Bestem den afledede funktion for hver af de følgende funktioner i deres respektive definitionsmængder:

$$ \begin{aligned} f_{1}(x) &= (x^{2} + 1)\cdot\sin(x) \\\\ f_{2}(x) &= \frac{\e^x}{x^{2}} \\\\ f_{3}(x) &= \cos(\ln{(x)}+1)\\\\ f_{4}(x) &= \cos(\cos(\cos(x))) \end{aligned}$$

Opg 3: De afledte af komplekse funktioner

A

Find for enhvert $\,t\in \reel\,$ differentialkvotienterne af følgende funktioner:

$$ \begin{aligned} f_{1}(t) &= t^{2} + i \, \sin(t) \\\\ f_{2}(t) &= 1+it^5\\\\ f_{3}(t) &= t^5-i\\\\ f_{4}(t) &= 3\, \e^{it}\\\\ f_{5}(t) &= i\, \e^{2t+3it} \end{aligned} $$

Opg 4: At differentiere omvendt funktion

Hvis funktionen $\,y=f(x)\,$ har en omvendt funktion $\,x=f^{-1}(y)\,$ kan vi finde den afledede af $\,f^{-1}(y)\,$ således:

$$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}\,.$$
A

Sinus har i intervallet $\,\left[-\frac{\pi}2\,,\,\frac{\pi}2\,\right]\,$ en omvendt funktion som betegnes arcsinus. Bestem den afledede af arcsin.

Opg 5: Tangens og arctan

Funktionen tangens er som bekendt defineret ved udtrykket

$$\,\tan(t)=\,\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\,,\,\,t\in \reel \setminus \left\{\frac{\pi}2 +p\pi\,|\,p\in \mathbb Z\right\}\,.$$
A

Vis at differentialkvotienten af tangens i ethvert $\,t\,$ i definitionensmængden er givet ved udtrykket

$$\tan'(t)=\,1+\tan^2(t)\,.$$

B

Tangens har i det åbne interval $\,]-\frac{\pi}2\,,\,\frac{\pi}2\,[\,$ en omvendt funktion som betegnes arctan. Bestem $\,\mathrm{arctan}’(x)\,$ for ethvert $\,x\,$ i intervallet.

Opg 6: Differentialkvotient via definition. Teori

A

Vis at den reelle funktionen $\,f\,$ med forskrift $\,f(x)=x^2\,$ er differentiabel i ethvert $\,x0\in \reel$ med differentialkvotient

$$\frac{d}{dx} f(x_0)=2x_0\,.$$

Vink: Indsæt forskriften i udtrykket

$$f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+\epsilon(x-x_0)(x-x_0)\,$$

og isolér $\,\epsilon(x-x_0)\,.$

Opg 7: Andengradsligning med reelle koefficienter

A

Løs nedenstående ligninger dels inden for $\reel$ og dels inden for $\mathbb C\,.$

  1. $\,2x^2+9x-5=0$

  2. $\,x^2-4x=0$

  3. $\,x^2-4x+13=0$

B

Løs ligningen

$$ 2(x+1-i)(x+1+i)=0$$

og vis at den er af typen andengradsligning med reelle koefficienter.

Opg 8: Komplekse koefficienter

A

Find løsningerne for ligningen

$$z^2-(1+5i)z=0\,.$$

B

Vis at følgende andengradsligning har rent imaginær diskriminant, og løs den.

$$z^2+(2+2i)z-2i=0\,.$$

Opg 9: Fri leg med epsilon-funktioner (advanced)

A

Vis, at funktionen: \begin{equation} f_{1}(x)= \begin{cases} |x|/x& \text{hvis}\, x \neq 0 \
0& \text{hvis}\, x = 0 \end{cases} \end{equation}

ikke er en epsilon-funktion.

B

Vis, at funktionen: \begin{equation} f_{2}(x)=1-\cos(x) \end{equation}

er en epsilon-funktion.

C

Vis, at den komplekse funktion: \begin{equation} f_{3}(x)=i\e^{ix}-i \end{equation}

er en epsilon-funktion.

%### Opg 10: Omvendte funktioner

%####### begin:question %Gør rede for at funktionen $\,f\,$ givet ved $\,f(x)=x^3+x^2+x+1\,$ har en omvendt funktion $\,f^{-1}\,$ som er %defineret på hele $\reel\,.$ Bestem differentialkvotienten af $f^{-1}$ i tallet $\,x_0=4\,$ og $\,x_1=0\,$.

%####### end:question

%####### begin:answer %$ 1.\quad$ Fordi $\,f\,$ er monoton og dermed injektiv på $\,\reel\,.$

%$ 2.\quad (f^{-1})’(4)=1/6\,.$

%$ 3.\quad (f^{-1})’(0)=1/2\,.$

%####### end:answer

%—–

%### Opg 11: Hyperbolske funktioner

%To nye funktioner $\,\cosh\,$ og $\,\sinh\,$ er defineret ved udtrykkene nedenfor. Den føste kaldes cosinus hyperbolsk og den anden sinus hyperbolsk. %

$$ %\begin{aligned} %\cosh(x) &= \frac{\e^x + \e^{-x}}{2}\quad , \quad \mathcal{D}m(\cosh) = \mathbb{R}\quad , \quad \quad \mathcal{V}m(\cosh) = \, [1, \infty[ \\\\ %\sinh(x) &= \frac{\e^x - \e^{-x}}{2}\quad , \quad \mathcal{D}m(\sinh) = \mathbb{R}\quad , \quad \quad \mathcal{V}m(\sinh) = \, ]-\infty, \infty[ %\end{aligned} %$$

%####### begin:question %Vis at

$$\cosh'(x)=\sinh(x)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\, %\sinh'(x)=\cosh(x)\,.$$

%####### end:question

%####### begin:question %Vis direkte ud fra definitionen af de to funktioner at: %

$$ %\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\,. %$$

%####### end:question %####### begin:question %Ordene cosinus og sinus indgår i de nye funktioners navne. Nævn nogle karakteristiske mellem de hyperbolske funktioner og cosinus og sinus.

%####### end:question