\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Løsning af ligningssystem

Disse første opgaver introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

A

Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 4x_3 &= 2\
x_2-2x_3 &= -1\
x_3 &= 2 \end{aligned} \end{equation}

%####### begin:hint %$x_3$ er bestemt ved den sidste ligning. Indsæt den i den midterste ligning. %####### end:hint %####### begin:hint %Find $x_2$ i den midterste ligning og indsæt $x_2$ og $x_3$ i den første ligning. Find $x_1$. %####### end:hint

B

Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1 - x_3 + x_4 &= 0\
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= 1\
4x_1 + 4x_2 + 4x_3 + 3x_4 &= 5 \end{aligned} \end{equation}

C

Find den fuldstændige løsning til det komplekse lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} i\,x_1 - 2x_2=-i\
x_1 + (1+i)x_2= 1 \end{aligned} \end{equation}

D

Find den fuldstændige løsningsmængde til det lineære ligningssystem: \begin{equation} \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3 &= 2 \
x_2+3x_3 &= 3 \
x_1+4x_2+8x_3 &= 9 \end{aligned} \end{equation}

Opg 2: Intro til ligningssystemer med Maple

Maple kan selvfølgelig regne med matricer, men først skal man inkludere en pakke i Maple, som vil lukke op for en række kommandoer, der har med lineær algebra at gøre. Pakken hedder LinearAlgebra og den inkluderes ved denne kommando:

> with(LinearAlgebra):

Læg mærke til, at kommandoen er skrevet med kolon til sidst. Prøv først at skrive kommandoen uden, og se derefter forskellen. Outputtet fra Maple er alle de kommandoer, som pakken inkluderer. Det er imidlertid overflødig information, og derfor kan det være en ide at afslutte kommandoen med kolon for at undgå outputtet.

Læg også mærke til at LinearAlgebra indeholder et stort L og A, Maple skelner mellem små og store bogstaver.

Det lille lineære ligningssystem \begin{equation} \begin{aligned} 3x - 7y &= 1 \
-2x -y &= 4 \end{aligned} \end{equation}

har koefficientmatricen \begin{equation} \begin{aligned} \begin{matr}{rr} 3 & -7 \\ -2 & -1 \end{matr} \end{aligned} \end{equation}

%I Maple ønsker vi at kalde denne matrix for A. Man tildeler en variabel i Maple en værdi ved hjælp af det dynamiske lighedstegn := (kolon lighedstegn). Det virker altså ikke, hvis man kun bruger et lighedstegn. Så tolker Maple nemlig inputtet som en ligning (som man eventuelt senere har lyst til at løse).

Man kan i Maple skrive matricer ved hjælp af de fire tegn $ < > , | $ på denne måde

> A := < <3 | -7> , <-2 | -1> >;

eller

> A := < <3,-2> | <-7,-1> >;

%Den sidste og nemmeste mulighed er dog at bruge Matrix-paletten til venstre for kommandovinduet: Tryk på Matrix-paletten \includegraphics[scale=.8]{billeder/matrixpalet.png} angiv hvor mange rækker og søjler matricen skal have, og tryk derefter \textsf{Insert Matrix}. Udfyld det første felt som er highlighted og brug tabulatortasten til at komme videre til næste felt. Sådan kan du fortsætte. Prøv at se, hvad nogen af de andre paletter kan.

Definer nu også højresiden b ved

> b := <1,4>;

%eller med paletten.

Man kan løse det lineære ligningssystem med kommandoen LinearSolve (husk igen forskellen på store og små bogstaver):

> LinearSolve( A , b );

Vi kan også betragte de to ligninger med to ubekendte som et spørgsmål om skæring mellem to linjer i en plan. Hvis vi ønsker at illustrere det, skal vi bruge en anden pakke, skriv:

> with(plots):

%Læg igen mærke til brugen af kolon til sidst. plots-pakken indeholder mere avancerede former for plots end kommandoen plot kan klare. Nu prøver vi at plotte de to linjer sammen:

> linje1 := implicitplot( 3*x - 7*y = 1 , x = -3 .. 3 , y = -3 .. 3):

> linje2 := implicitplot( -2*x - y = 4 , x = -5 .. 3 , y = -3 .. 3):

Plottene kan herefter flettes sammen og vises med denne kommando (og scaling = constrained er også inkluderet som argument): > display([linje1 , linje2] , scaling=constrained);

Gangetegnet skriver du med * (asterisk). Det er vigtigt, at du altid skriver gangetegnet og ikke udelader det som man ofte ellers vil gøre, når man skriver matematik.

Sammenlign skæringspunktets koordinater med den tidligere fundne løsning til de to ligninger for linjerne.

Nu skal vi prøve at løse opgave 1b) i Maple. Skriv (og forstå!) følgende kommandoer:

> restart: with(LinearAlgebra):

Der er givet ligningerne:

> lign1 := x1 - x3 + x4 = 0:

> lign2 := x1 + x2 + x3 + x4 = 1:

> lign3 := 4*x1 + 4*x2 + 4*x3 + 3*x4 = 5:

Vi danner (genererer) ligningssystemets totalmatrix:

> T :=<<1,1,4>|<0,1,4>|<-1,1,4>|<1,1,3>|<0,1,5>>;

Skriv de følgende kommandoer og se, om det bliver det samme, som da du regnede opgaven i hånden.

> T1 := RowOperation(T , [2,1] , -1);

> T2 := RowOperation(T1 , [3,1] , -4);

> T3 := RowOperation(T2 , [3,2] , -4);

> T4 := RowOperation(T3 , 3 , -1);

> trapT := RowOperation(T4 , [1,3] , -1);

Prøv nu at opskrive det tilhørende fuldstændigt reducerede lineære ligningssystem.

Man kan komme frem til trappeformen af en matrix straks ved hjælp af kommandoen

> trapT2 := ReducedRowEchelonForm(T);

Opskriv løsningsmængden på standardparameterform og sammenlign den med det følgende (som er den hurtigste løsningsmetode – LinearSolve bliver din ven!):

Først skal du definere koefficientmatricen > A:= og højresiden > b:=. Derefter forsøger du med:

> LinearSolve(A,b,free=t);

Giver alle løsningsmetoderne det samme?

Opg 3: Lineært ligningssystem med Maple

Givet ligningssystemet \begin{equation} \begin{aligned} x_1+2x_2+2x_3 &= 6 \
x_2+3x_3 &= 3 \
x_1+4x_2+8x_3 &= 12 \end{aligned} \end{equation}

A

Definér i Maple ligningssystemets koefficientmatrix A, højreside b og totalmatrix T.

B

Afprøv de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve.

C

Opskriv ligningssystemets løsningsmængde på standard parameterform

D

Diskutér fordele og ulemper ved hver af de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve.

Opg 4: Løsningers struktur og begrebet rang: Teori

Det er væsentligt at opnå en forståelse af løsningsmængdens struktur. Dels forholdet mellem løsningerne til det inhomogene og det tilsvarende homogene ligningssystem, og dels forholdet mellem løsningsmængdens form/dimension og rangen af den tilhørende totalmatrix.

A

Hvis $ \mx_0 = (1,2,3) $ er løsning til et inhomogent lineært ligningssystem, og hvis $ \mx_1 = (0,5,2) $ er en løsning til det tilsvarende homogene ligningssystem, er $ \my_0 = (1,7,5) $ så en løsning til det inhomogene ligningssystem? Er $ \mz_0 = (2,9,8) $ løsning til det inhomogene ligningssystem? Er differensen mellem to løsninger til det inhomogene lineære ligningssystem også en løsning til det inhomogene lineære ligningssystem?

Før du løser den næste opgave bør du studere eNote 6, eksempel 6.30 og den første MapleDemo Ligningssystemer basic grundigt.

B

Beskriv med dine egne ord den betydning, rangen af ligningssystemets totalmatrix har for strukturen af løsningsmængden.

Opg 5: Løsningers struktur og begrebet rang: Praksis

Intro: Ligningssystemet i denne opgave indeholder et ikke kendt reelt tal $a$ og dets løsning falder meget forskelligt ud efter hvilken værdi $a$ antager. Under GaussJordan-eliminationen skal I være meget påpasselige med ikke at dividere med nul, for så misser man vigtige særtilfælde. Brug opgaven til at diskutere hvordan rangen af systemets koefficient- og totalmatrix og dermed løsningsmængdens struktur afhænger af $a\,.$

A

Håndregning: Find for enhver reel værdi af $a$ samtlige løsninger til det lineære ligningssystem \begin{equation} \begin{aligned} ax_1 + x_2 + x_3 &= 1\
x_1 + ax_2 + x_3 &= 1\
x_1 + x_2 + ax_3 &= 1 \end{aligned} \end{equation}

B

Tjek det ovenstående eksempel med Maple’s LinearSolve. Konklusion?

Opg 6: Regning med matricer

At multiplicere matricer er ikke helt simpelt, og når man blot anvender bogstavsbetegnelserne for sine matricer, kan det let gå galt! Læs først eksempel 7.2 og eksempel 7.11. Læg mærke til regnereglerne for de indførte regneoperationer i sætning 7.3, sætning 7.13 og sætningn 7.16.

A

Hvad er det vigtigt at overveje inden du går i gang med at multiplicere?

B

Hvorfor gælder der i almindelighed, at $\mA\mB \neq \mB\mA$?

C

Hvis $\mA\mB$ og $\mB\mA$ har samme dimension, er det så sikkert, at $\mA\mB = \mB\mA$?

D

Der er givet en matrix og en vektor ved: \begin{equation} \mA= \begin{matr}{rrr} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{matr} \,\,\,\mathrm{og}\,\,\, \mb=\begin{matr}{r} 3\\1\\-2\end{matr}\,. \end{equation}

Udregn i hånden matrix-vektorproduktet af $\mA$ og $\mb$.

E

Givet matricerne \begin{equation} \mA= \begin{matr}{rrr} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{matr} \quad \mathrm{og} \quad \mB = \begin{matr}{rrr} 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matr} \end{equation} Håndregning: Udregn, hvis det er muligt, følgende: $2\mA-3\mB$, $2\mA\transp-3\mB\transp$, $2\mA-3\mB\transp$, $\mA\mB$, $\mA\mB\transp$, $\mB\mA\transp$, $\mB\transp\mA$ og $\mA\transp\mB$.

Opgave 7: Et camoufleret ligningssystem?

En matrix $\,\mA\,$ og en vektorer $\,\mathbf b\,$ er givet ved

$$ \mA=\begin{matr}{rrrr} 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -3 & -1 \end{matr}\,\,\,\,\mathrm{og} \,\,\,\, \mathbf b = \begin{matr}{r} 4\\\\2 \end{matr}\,.$$
F

Løs matrixligningen $\,\mA\mathbf x=\mathbf b\,.$