\\\\(
\nonumber
\newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$}
\newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}}
\newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}}
\newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace}
\newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}}
\newcommand{\eqnl}{}
\newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}}
\newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}}
\newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}}
\newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}}
\newcommand{\am}{\mathrm{am}}
\newcommand{\gm}{\mathrm{gm}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
\newcommand{\mU}{\mathbf{U}}
\newcommand{\mA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\mB}{\mathbf{B}}
\newcommand{\mC}{\mathbf{C}}
\newcommand{\mD}{\mathbf{D}}
\newcommand{\mE}{\mathbf{E}}
\newcommand{\mF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\mK}{\mathbf{K}}
\newcommand{\mI}{\mathbf{I}}
\newcommand{\mM}{\mathbf{M}}
\newcommand{\mN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\mT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\mV}{\mathbf{V}}
\newcommand{\mW}{\mathbf{W}}
\newcommand{\mX}{\mathbf{X}}
\newcommand{\ma}{\mathbf{a}}
\newcommand{\mb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\mc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\md}{\mathbf{d}}
\newcommand{\me}{\mathbf{e}}
\newcommand{\mn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\mr}{\mathbf{r}}
\newcommand{\mv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\mw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\mx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}}
\newcommand{\my}{\mathbf{y}}
\newcommand{\mz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\reel}{\mathbb{R}}
\newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}}
\newcommand{\mnul}{\mathbf{0}}
\newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)}
\newcommand{\Det}{\operatorname{Det}}
\newcommand{\adj}{\operatorname{adj}}
\newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}}
\newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}}
\newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}}
\newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}}
\newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}}
\newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}}
\newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}}
\newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}}
\newcommand{\IS}{\operatorname{I}}
\newcommand{\IIS}{\operatorname{II}}
\newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}}
\newcommand{\Le}{\operatorname{L}}
\newcommand{\app}{\operatorname{app}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\compl}{\mathbb{C}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\\\\)
Opg 1: Udregning af determinanter Der er givet fem $3\times 3$ -matricer.
$$
\begin{matr}{rrr} 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & 2 & 2 \\\\ 3 & -5 & 1 \end{matr},\,
\,\begin{matr}{rrr} 4 & 2 & 1 \\\\0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{matr},\,
\, \begin{matr}{rrr} 2 &0 & 0 \\\\ 3 & 5 & 0 \\\\ 9 & -4 & 3 \end{matr},\,
\, \begin{matr}{ccc} 2-i & 0 & 0 \\\\ 0 & 2+i & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{matr},\,
\, \begin{matr}{rrr} 4 & 2 & 1 \\\\1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{matr}\,.
$$
A
Håndregning:
Udregn determinanten af den første matrix ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle.
B
Hovedregning:
Udregn determinanten af de resterende fire matricer.
Show hint
Husk regler for diagonal- og trekantmatricer. Hvad er specielt for den sidste matrix?
Opg 2: Parameterfremstilling for parallelogram På figuren er der tegnet en plan i rummet som indeholder et parallelogram $A$ .
Giv en parameterfremstilling for $A$ :
A
Giv en parameterfremstilling for $A$ .
Show hint
Vi kan bruge en parameterfremstilling på formen
$$
\stackrel{\rightarrow}{OP}=\mathbf b+x\mathbf u+y\mathbf v\,\,\,\mathrm{hvor}\,\,\,x\in \left[\,a\,,\,b\,\right]\,\,\mathrm{og}\,\,y\in \left[\,c\,,\,d\,\right]\,.
$$
Hvad er $a$ , $b$ , $c$ og $d\,$ ?
Show answer
$a=-2,\,b=-1,\,c=-1,\,d=1\,.$
Opg 3: Forskellige baser i rummet Vi betragter rumvektorers koordinater i forskellige baser, se figuren.
A
Det fremgår af figur 6.21, at $\mathbf a$ , $\mathbf b$ og $\mc$ er lineært uafhængige. En basis m er givet ved $(\mathbf a, \mathbf b,\mathbf c)$ . Bestem koordinatvektoren $_\mathrm m\mathbf d$ .
Show answer
$_\mathrm m\mathbf d=
\begin{matr}{r}2\\ \frac 12\\1\end{matr}\,.$
B
Det fremgår også af figuren, at $(\mathbf a, \mathbf b,\mathbf d)$ er en basis, lad os kalde den n . Bestem koordinatvektoren $_\mathrm n\mathbf c$ .
Show hint
Fra forrige spørgsmål får vi
$\mathbf d= 2\mathbf a+\frac 12 \mathbf b +\mathbf c\,.$ Isolér $\mathbf c$ .
Show answer
$_\mathrm n\mathbf c=
\begin{matr}{r}-2\\ -\frac 12\\1\end{matr}\,.$
%####### begin:question
%Indtegn med origo som begyndelsespunkt den vektor $\mathbf u$ som med hensyn til basis m har koordinaterne
%
$$
% _\mathrm m\mathbf u=
%\begin{matr}{r}2\\\\1\\\\1\end{matr}\,.
%$$
%####### end:question
Opgave 4: Geometri i planen Vi betragter tre geometriske vektor indsat i et sædvanligt koordinatsystem i planen:
C
Bestem længden af hver vektor.
Show hint
Se sætning 10.51 i eNote 10.
Show answer
$2\sqrt{10},\,\,2\sqrt{5},\,\,\sqrt{26}\,.$
D
Bestem vinklen mellem $\,\ma\,$ og $\,\mb\,.$
Show hint
Se sætning 10.53 i eNote 10.
Show answer
45 grader. Eller $\,\frac{\pi}4\,$ radianer.
E
Bestem med determinant-metoden det areal der udspændes af $\,\ma\,$ og $\,\mb\,.$
Show hint
Se følgesætning 10.58 i eNote 10.
F
Bestem længden af projektionsvektoren proj($\mb,\mc$ ).
Show hint
Se sætning 10.55 i eNote 10.
Show answer
$\frac{18}{\sqrt{26}}\,.$
G
Bestem projektionsvektoren proj($\mb,\mc$ ).
Show hint
Se sætning 10.56 i eNote 10.
Show answer
$(-\frac{9}{13}\,,\,\frac{45}{13}\,)\,.$
Opg 5: Geometri i rummet Vi skal udregne rumfanget af det parallelepipedum der er udspændt af tre geometriske vektor indsat i et sædvanligt koordinatsystem i rummet:
Vektorernes koordinater er i standardbasen givet ved
$$_\mathrm e\ma=(1,0,0)\,,\,\,_\mathrm e\mb=(1,2,0)\,,\,\,_\mathrm e\mc=\left(\,\frac 32,\frac 12,\frac 32\,\right)\,.$$
A
Find parallelepipedums rumfang ved formlen: grundfladens areal ganget med højden .
Show hint
Hvis du som grundflade vælger det parallelogram i $(x,y$ -planen der er udspændt af $\,\ma\,$ og $\,\mb\,,$ er grundfladens areal som bekendt længden af krydsproduktet $\,\mathbf N=\ma \times \mb\,.$ Højden fås herefter ved længden af proj$(\mc,\mathbf N)\,$ .
Show answer
Længden af krydsproduktet er 2, og længden af projektionen er $\,\frac 32 \,.$ Rumfanget er derfor 3.
B
Bestem det$(\left[\,\mathrm e\ma\,\, \mathrm e\mb\,\,_\mathrm e\mc\,\right])\,.$
Show answer
Svaret er som forventet 3.
Opg 6: Lineær afhængighed eller uafhængighed Der er i rummet givet tre vektorer som med hensyn til et sædvanligt koordinatsystem har koordinaterne
$$(3,1,5),\,(2,3,9)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,(-5,3,3)\,.$$
A
Bestem med Maple determinanten af den matrix der har de tre vektorer som søjler. Er de tre vektorer lineært uafhængige?
B
En konsekvens af korrekt svar på første spørgsmål er, at mindst én af de tre vektorer kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Opskriv en af de tre vektorer som en linearkombination af de to andre.
Show hint
Se fx eksempel 10.44 i eNote 10.
Show answer
Der gælder for eksempel:
$$
(-5,3,3)=-3(3,1,5)+2(2,3,9)\,.$$
C
Angiv rumfanget af det parallelepipedum som er udspændt af vektorerne $\,(3,1,5),\,(2,3,9)\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,(-5,3,3)\,.$
Show answer
Det må jo være 0, da vektorerne er lineært afhængige (ligger i samme plan, udspænder intet rumligt).
D
Bestem en vektor som er vinkelret på både $\,(3,1,5)\,$ og $\,(2,3,9)\,,$ og som sammen med de to vektorer udspænder et parallelepipedum med rumfanget $187\,.$
Show answer
To muligheder: $\,(-3,-17/2,7/2)\,$ og $\,(3,17/2,-7/2)\,.$
