%DE HAR MEGET SVÆRT VED OPGAVE 2, ELLER BRUGER LANG TID. DEN SKAL NOK RET LANGT NED. MP REGNER PÅ tAVLEN! eLLER TAGE DE SIDSTE TO SPØRGSMÅL UD. PARABEL OPGAVEN VED GEOGEBRA SKAL UD.
Opg 1: De to linearitetsbetingelser
To afbildninger $\,f\,$ og $\,g\,$ som både har $\reel^2$ som definitions- og dispositionsrum, er givet ved:
Vis at netop én af de to afbildninger er lineær. Find hvilken ved at undersøge om de opfylder de to linearitetskrav.
hint
Læs definition 12.5 i eNote 12.
hint
Du skal jo undersøge om
1. $f((x_1, x_2)+(y_1,y_2))=f((x_1, x_2))+f((y_1,y_2))$
2. $f(k(x_1,x_2))=k\cdot f((x_1,x_2))$
answer
Det er $\,f\,$ som er lineær. At $\,g\,$ ikke er lineær, vises nemmest ved et modeksempel.
B
Angiv kernen for den fundne lineære afbildning.
hint
For at finde $\ker(f)$, skal du løse ligningssystemet $(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(0,0)\,.$
answer
$(x_1,x_2)=t(1,1)$ hvor $t \in \reel\,$. Sagt på anden måde: En basis for $\ker (f)$ er givet ved $\,(\,(1,1)\,)\,.$
C
Angiv billedrummet for den fundne lineære afbildning.
hint
Billedrummet svarer til det som i gymnasiet kendes som værdimængden for en elementær funktion, dvs. alle den lineære afbildnings mulige værdier.
hint
Vi skal altså finde ud af hvilke vektorer $\mb=(b_1,b_2)\,$ der har mulighed for at optræde som højreside i ligningen $(x_1-x_2,-x_1+x_2)=(b_1,b_2)\,.$
answer
$(x_1,x_2)=t(-1,1)$ hvor $t \in \reel\,.$ Sagt på anden måde: En basis for $\,f(\reel^2)\,$ er givet ved $\,(\,(-1,1)\,)\,.$
Opg 2: Polynomiumsrum
Mængden af andengradspolynomier $\,P_2(\reel)\,$ kan betragtes som et 3-dimensionalt vektorrum. De reelle tal $\,\reel\,$ er et 1-dimensionalt vektorrum. Vi undersøger afbildninger fra det førstnævnte vektorrum til det andet.
%Hvis man vælger standard monomie-basen $(1,x,x^2)\,$, kan ethvert andengradspolynomium beskrives ved en koordinatvektor, hvor polynomiets koefficienter udgør vektorens koordinater. For eksempel har $P(x)=3x^2+4x-1$ koordinatvektoren $(-1,4,3)$ i forhold til monomie-basen.
En afbildning $\,f:P_2(\reel)\rightarrow \reel\,$ er givet ved
$$\,f(P(x))=P\,'(1)\,.$$
Vi illustrerer med et par eksempler:
A
Bestem $\,f(x^2)\,$ og $\,f(-x^2+2x-2)\,,$ se figuren.
B
Vis at $f$ er lineær.
hint
Du skal vise
1. $f(P(x)+Q(x))=f(P(x))+f(Q(x))$
2. $f(k(P(x))=k\cdot f(P(x))$
answer
Se eksempel 12.8 i eNote 8.
C
Ét af de to polynomier på figuren tilhører kernen for $\,f\,,$ hvilket? Bestem en basis for $\,\ker (f)\,.$
hint
Hvad skal koefficienterne i et polynomium som tilhører ker$(f)\,$ opfylde?
answer
En basis for kernen er givet ved $\,(1\,,\,x^2-2x)\,.$
D
Vis at billedrummet $\,f(P_2(\reel))\,$ for $\,f\,$ er lig med dispositionsrummet for $\,f\,.$
En afbildning $\,g:P_2(\reel)\rightarrow \reel\,$ er givet ved
$$\,g(P(x))=P\,'(0)+1\,.$$
E
Vis at $\,g\,$ ikke er lineær.
hint
Vises nemmest ved et modeksempel.
hint
Vis for eksempel at $\,g(2x)\neq 2g(x)\,.$
Opg 3: Undersøgelse af lineær afbildning
Lad $f:\reel ^4\rightarrow \reel^3$ være givet ved forskriften
Vis ved hjælp af Hovedsætning 12.16 i eNote 12, punkt 2, at $f$ er lineær, og angiv afbildningsmatricen $ \matind eFe$ for $f$ med hensyn til standardbaserne i $\reel^4$ og $\reel^3$.
hint
Afbildningsmatricen $ \matind eFe$ skal tilfredsstille ligningen $ \vekind ey= \matind eFe \cdot \vekind ex$, hvor $ \vekind ey$ svarer til $f((x_1,x_2,x_3,x_4))$ og $\vekind ex$ svarer til $(x_1,x_2,x_3,x_4)$.
hint
Opstil et bud på en afbildningsmatrix ved hjælp af Definition 12.15 i eNote 12. Passer matricen med forskriften for $f\,$?
Find billedrummets dimension og angiv en basis for billedrummet.
hint
Antallet af vektorer i basis er lig med dimensionen af billedrummet, som igen hænger sammen med rangen af afbildningsmatricen.
hint
Du kan finde basisvektorerne som nogle af søjlerne i afbildningsmatricen, men hvilke og hvor mange?
hint
Se Metode 12.23 i eNote 12.
answer
Dimensionen af billedrummet er lig med rangen af afbildningsmatricen, som er 2. Billedrummet udspændes således af to vektorer. For nemheds skyld vælges de to første søjler i afbildningsmatricen, som er lineært uafhængige, så $f(\reel^4)=\spanVec {(1,3,2),(1,-1,2)}$. En basis for billedrummet er derfor $(\,(1,3,2),(1,-1,2)\,)$.
C
Angiv en basis for afbildningens kerne.
hint
Afbildningens kerne, $\ker(f)$, er et rum som består af samtlige vektorer, der tilfredsstiller ligningen $f(\mx)=\mnul$.
hint
Vi skal altså løse ligningen $f(\mx)=\mnul$, som også kan formuleres $\matind eFe \cdot \vekind ex = \mnul$.
hint
Se Metode 12.21 i eNote 12: Opstil en totalmatrix, som består af matricen $\matind eFe$ forlænget med en 0-søjle og løs ligningssystemet ved Gauss-Jordan elimination.
answer
Da rangen af $\matind eFe$ er 2 og antallet af søjler er 4, er $\dim (\,\ker (f)\,) =4-2=2$. Basis skal altså udgøres af to lineært uafhængige vektorer, som udspænder rummet. Efter Gauss-Jordan elimination er det oplagt at vælge $(-\frac{5}{4},-\frac{7}{4},1,0)$ og $(-\frac{5}{4},\frac{1}{4},0,1)$.
D
Tilhører $(1,2,3)$ billedmængden $f(\reel ^4)\,$?
hint
Se Metode 12.22 i eNote 12.
answer
Nej.
E
Løs vektorligningen $\,f(\mathbf x)=(2,2,4)\,$.
hint
Se Metode 12.22 i eNote 12
answer
$\mathbf x = (1,1,0,0)+\ker f\,$.
Opg 4: Lineære afbildninger i planen
Vi betragter i det følgende et sædvanligt koordinatsystem $\,(O, \mathbf i, \mathbf j)\,$ i planen. Alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. En vilkårlig vektor $\,\mathbf x\,$ er tegnet blå, mens billedvektoren $\,\mathbf y\,$ er rød. $\,\mathbf F\,$ angiver afbildningsmatricen for $f\,$ med hensyn til standardbasen.
ved at flytte søjlevektorerne $\,\mathbf s_1\,$ og $\,\mathbf s_2\,$ med musen. Find derefter billedet af $\,(1,2)\,$ ved at flytte $\,\mathbf x\,$ hen til $\,(1,2)\,$ med musen.
Find billedet af basisvektor $\,\mathbf i\,$ ved trække $\,\mathbf x\,$ hen til $(1,0)\,$. Gør det tilsvarende med basisvektor $\,\mathbf j\,$. Passer basisvektorernes billeder med tallene i $\,\mathbf F\,$?
Hvad sker der med billedvektoren når der flyttes rundt på $\,\mathbf x\,$?
Udregn det$\,(\mathbf F)\,$, og bestem rangen af $\,\mathbf F\,$. Bestem en basis for billedrummet.
Hvilken forventning må vi have til kernens dimension? Bestem en ligning for den rette linje som indeholder kernen (vink: find først en vektor som afbildes i 0-vektoren ved at flytte på $\,\mv\,$).
Ideen her er at $\,\mathbf x\,$ er bundet til det viste linjestykke. Flyt på $\,\mathbf x\,$, og følg sporet af $\,\mathbf y\,$.
Parallelforskyd linjestykket med musen og flyt igen på $\,\mathbf x\,$ Hvad sker der med billedet. Afprøv evt. andre indstillinger af $\,\mathbf F\,$. Sammenfat iagttagelserne i en hypotese.
Det oplyses at kernen for $f$ har dimensionen 1. Find straks, alene ved hovedregning, en basis for $\,f(V)\,$.
answer
En mulig basis er $\,(\,(1,2,3),(1,0,0)\,)\,$.
C
%\begin{exercise}\label{tn8.opgDimension2}
I rummet er der givet et sædvanligt koordinatsystem $\,(O,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$. Alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. Afbildningen $\,p\,$ projicerer vektorer ned i $(X,Y)$-planen i rummet, se figuren
Vis at $\,p\,$ er lineær, og opstil afbildningsmatricen $\matind ePe$ for $p$ med hensyn til standardbasen $e\,.$ Bestem en basis for projektionens kerne og billedrum. Tjek at dimensionssætningen er opfyldt.
Mulig basis for $\,\ker(p)\,$ er $\,(\mathbf k)\,$. Mulig basis for billedrummet $\,(\mathbf i,\mathbf j)\,$. Definitionsrummet har dimensionen 3, kernen har dimensionen 1 og billedrummet har dimensionen 2. Da $3=1+2$ er dimensionssætningen opfyldt.
Opg 7: Afbildningsmatricer for spejlinger
I planen er der givet et sædvanligt $\,(O,\mathbf i,\mathbf j)$-koordinatsystem, og alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. Som nævnt i Opgave 12.3 i eNote 12 er spejlinger i linjer gennem Origo lineære.
Her betragter vi spejling af vektorer i linjen $\,y=x\,,$ lad os denne lineære afbildning $s\,.$
A
Bestem $s(\mathbf i)$ og $s(\mathbf j)$, opstil afbildningsmatricen $\matind eSe$ for $s\,$ og bestem et udtryk for spejlingen af en vilkårlig plan vektor $\,\mathbf u\,$ med $e$-koordinaterne $(u_1,u_2)\,$.
answer
$\matind eSe =\begin{matr}{rr}0&1\\1&0\end{matr}\,$. Billedets $e$-koordinatvektor er $\,\begin{matr}{r}u_2\\u_1\end{matr}\,$.
Vi betragter et nyt $\,(O,\mathbf v_1,\mathbf v_2)$-koordinatsystem hvor alle vektorer tænkes afsat ud fra Origo. $\,\mv_1\,$ en enhedsvektor lagt langs linjen $\,y=\frac 12\,x\,,$ om vist på figuren, og $\,\mv_2\,$ er tværvektoren for $\,\mv_1\,.$
Vi ønsker at finde afbildningsmatricen $\matind eRe$ for den lineære afbildning $\,r\,$ som spejler vektorer i linjen $\,y=\frac 12\,x\,.$ Vi gør det i to step.
B
Bestem afbildningsmatricen $\matind vRv$ for $r\,$ med hensyn til basen $\,v=(\mv_1,\mv_2)\,.$
hint
Hvad sker der med basisvektorerne $\,\mv_1\,$ og $\,\mv_2\,$ ved den nævnte spejling.
Bestem afbildningsmatricen $\matind eRe$ for $r\,$ med hensyn til standardbasen. Lad $\,\mathbf u\,$ være en vilkårlig vektor i planen med $e$-koordinaterne $(u_1,u_2)\,.$ Bestem et udtryk for spejlingen af $\,\mathbf u\,$ i linjen $\,y=\frac 12\,x\,.$
hint
Du får nok brug for basisskiftematricen $\,\matind eMv\,.$ Og måske endda dens inverse.
answer
$$\matind eRe =\begin{matr}{rr}\frac35&\frac45\\\\ \frac45&-\frac35\end{matr}\,.$$
Opg 8: Leg med afbildningsmatricer ved basisskifte
Givet vektorerne $\,\ma_1=(1,2)\,$ og $\,\ma_2=(3,7)\,$ i $\,\reel^2\,$ og $\,\mc_1=(1,2,2)\,,$$\,\mc_2=(2,3,1)\,$ og $\,\mc_3=(1,2,1)\,$ i $\,\reel^3\,$. Lad den lineære afbildning $\,f:\reel^2\rightarrow\reel^3\,$ være givet ved
Vis, at $\,\ma_1\,$ og $\,\ma_2\,$ udgør en basis for $\,\reel^2\,$ og at $\,\mc_1\,$, $\,\mc_2\,$ og $\,\mc_3\,$ udgør en basis for $\,\reel^3\,.$
hint
Basis for et vektorrum udgøres af et antal vektorer, som udspænder rummet og som er indbyrdes lineært uafhængige.
hint
Opstil de to hhv. tre vektorer som søjler i en matrix. Hvis denne matrix er regulær, er vektorerne lineært uafhængige. %\tref{NUID18-tn7.methBasis}{metode}.
answer
Da $\ma_1$ og $\ma_2$ er lineært uafhængige og udspænder $\reel^2$, udgør de en basis for $\reel^2$, og da $\mc_1$, $\mc_2$ og $\mc_3$ er lineært uafhængige og udspænder $\reel^3$, udgør de en basis for $\reel^3$.
B
Angiv afbildningsmatricen for $\,f\,$ med hensyn til basen $\,(\ma_1,\ma_2)\,$ i $\,\reel^2\,$ og basen $\,(\mc_1,\mc_2,\mc_3)\,$ i $\,\reel^3\,$.
hint
Du skal opstille en matrix $\matind cFa$, så $\vekind cy=\matind cFa\cdot\vekind ax$.
