For et vilkårligt komplekst tal $\,c\neq 0\,$ betragtes differentialligningen
$$ z'(t)-c\cdot z(t)=2 $$
E
Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Du får nok brug for Sætning 1.66 og måske også regnereglerne i Sætning 1.63 i eNote 1.
answer
$z(t)=-\frac 2c + k\,\e^{ct}\,$ hvor $\,k\in \Bbb C,.$
F
Bestem for $\,c=i-1\,$ den betingede løsning $\,z(t)\,$ som opfylder $\,z(0)=i\,.$
answer
$z(t)=1+i-\cdot\e^{(i-1)t}\,.$
Opg 2: Struktursætningen
I denne opgave udnyttes viden om lineære afbildninger til at løse tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger. I hvert eksempel går vi trinvist frem.
G
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Angiv en løsning til ligningen $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Lineariteten følger af kendte regler for differentialkvotient, hvilke?
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er konstant 0?
hint
Angiv en funktion hvis differentialkvotient er lig med $\sin( t)\,.$
answer
$\ker(f)$ er alle funktioner af typen: $x(t)=k\,.$
$x_0(t)=-\cos(t)$ er som bekendt en stamfunktion til $\sin(t)\,.$
Den fuldstændige løsning på $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ er i følge struktursætningen funktionerne
$$x(t)=-\cos( t)+k\,,\,\,t \in \reel\,$$
hvor $k$ er et vilkårligt reelt tal.
H
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)-x(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 5\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Glemt reglerne for lineær afbildning? Så se Definition 12.5 i eNote 12.
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er lig med funktionen selv?
$\ker(f)$ er alle funktioner af typen: $x(t)=k\e^t\,.$
$x_0(t)=-5$ er en løsning.
Den fuldstændige løsning i følge struktursætningen funktionerne
$$x(t)=-5+k\e^t\,,\,\,t \in \reel\,$$
hvor $k$ er et vilkårligt reelt tal.
I
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet
$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 2t\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Kernen bør igen kunne graves frem af gymnasieviden.
answer
Den fuldstændige løsning i følge struktursætningen funktionerne
Angiv i sædvanlig Leibniz notation de tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger der er løst ovenfor.
answer
Den første kan skrives: $\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)=\sin(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$
Opg 3: Panserformel eller struktursætning?
Givet differentialligningen
$$\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)+\cos(t)\cdot x(t)=\cos(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
K
Løs differentialligningen ved hjælp af panserformlen (brug evt. simuleret håndregning med Maple, idet stamfunktionen er ikke helt nem at udregne i hånden).
L
Løs differentialligningen ved hjælp af struktursætningen.
hint
Find først en løsning til den homogene differentialfunktion. Gæt derefter en (partikulær) løsning til den inhomogene. Det er meget nemt!
Opgaven ønskes løst med brug af struktursætningen og superposition.
M
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=2\cos t\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Findes der en løsning til ligningen af formen $x(t)=a \cdot \cos t +b \cdot \sin t$?
hint
Indsæt $\,x(t)=a \cdot \cos t+b \cdot \sin t\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a$ og $b$ skal være.
answer
$x(t)= \cos t+ \sin t$
N
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Indsæt $\,x(t)=at^2+bt+c\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a,$$b$ og $c$ skal være.
answer
$x(t)=t^2-2t+1\,.$
O
Løs differentialligningen
$$
x'(t)+x(t)=2\cos t +t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
answer
$x(t)=c\e^{-t}+\cos t+\sin t+t^2-2t+1\,$ hvor $c$ er et vilkårligt reelt tal og $t$ en reel variabel.
Opg 5: Førsteordens differentialligning med Maple
Givet den inhomogene differentialligning
$$ x'(t)+\frac{1}{7}\,x(t)=3-2\cos(t). $$
P
Find ved hjælp af Maple den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Vink til dette og de øvrige spørgsmål i denne opgave: Se dagens MapleDemo basic.
Q
Find igen ved hjælp af Maple den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen $ x(0)=0 $.
R
Plot din løsning, evt. med forskellige begyndelsesbetingelser.
Opg 6: Modellering af fysisk problem
Vi introducerer hermed en interaktiv opgavetype kaldet eMaple. Meningen er at du/I selv helt fra bunden skal modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med modellen.
Fremgangsmåden er at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Efter du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på løsningsforslaget.
De komplekse funktioner $\,z(t)\,$ som er defineret for $\,t \in \reel\,,$ og som kan differentieres et vilkårligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes $\,\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\,.$
En lineær afbildning $\,f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved
$$f(z(t))= z''(t) + z(t)\,.$$
T
Gør rede for at $\,U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}\,$ er et 2-dimensionalt underrum i $\,\ker(f)\,.$
hint
Vis at $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ begge tilhører kernen, og at de er lineært uafhængige.
hint
Lineært uafhængige: Vis at
$$\,k_1\e^{it}+k_2\e^{-it}=0\,$$
kun er opfyldt for alle $\,t\,$ hvis $\,k_1=k_2=0\,.$ Skal fx gælde for $\,t=0\,$ og $\,\displaystyle{t=\frac{\pi}2}\,.$
answer
Kernen er (som alle kerner) et underrum i definitionsrummet. Da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ tilhører kernen, må enhver linearkombinationen af dem derfor tilhøre kernen. Da en undspænding altid er et underrum, og da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ er lineært uafhængige, må $U$ være et 2-dimensionalt underrum i kernen. (Faktisk udspænder $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ hele kernen, det har vi dog ikke endnu teori nok til at vise).
U
Der findes en reel funktion $\,z_0(t)\,$ i $\,U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}$ som opfylder begyndelsesværdibetingelserne $\,z(0)=1\,$ og $\,z’(0)=0\,.$ Find den!
answer
$$z_0(t)=\cos(t)\,.$$
Opg 8: Lineær afbildning på funktionsrum
Lad $\,U\,$ være det underrum af $\,C^\infty (\reel)\,$ som er udspændt af vektorerne $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,.$
V
Vis, at $\,\cos t$, $\sin t$ og $\e^t\,$ udgør en basis for $\,U\,$
hint
$\,U\,$ er givet som det underrum, der udspændes af $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$, så vi skal blot vise, at de tre vektorer er lineært uafhængige.
hint
Når vi skal vise, at tre vektorer, $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ og $\mathbf{u}_3$ er lineært uafhængige, gøres det lettest ved at vise, at en linearkombination af vektorerne kun kan blive nul, hvis alle koefficienterne er 0, se Sætning 11.17 i eNote 11.
hint
Kan ligningen $k_1\cdot\mathbf{u}_1+k_2\cdot\mathbf{u}_2+k_3\cdot\mathbf{u}_3=0\Leftrightarrow k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ have andre løsninger end nulløsningen?
hint
En løsning til ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ skal være gyldig for alle $t$. Prøv nu at sætte $t=0$, $t=\frac{\pi}{2}$ og $t=\pi$ og indsæt disse værdier i ligningen.
hint
Du får nu følgende tre homogene lineære ligninger:
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_1\cdot 1+k_2\cdot 0+k_3\cdot 1&=0 \
k_1\cdot 0+k_2\cdot 1+k_3\cdot \e^\frac{\pi}{2}&=0\\
k_1\cdot (-1)+k_2\cdot 0+k_3\cdot \e^\pi &=0.
\end{aligned}
\end{equation}
Løs dette ligningssystem.
hint
Opstil først ligningssystemets totalmatrix. Har den fuld rang?
answer
Ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ er kun tilfredsstillet for alle $t$, hvis $k_1=k_2=k_3=0$. De tre vektorer $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$ er altså lineært uafhængige og da de udspænder $U$, kan de udgøre en basis for $U$.
En lineær afbildning $\,f:U \rightarrow C^\infty (\reel)\,$ er givet ved:
$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
W
Vis, at $f$ afbilder $\,U\,$ ind i sig selv.
hint
At $f$ afbilder $\,U\,$ ind i sig selv betyder blot, at billedrummet $\,f(U)\subseteq U\,.$
hint
Vi skal derfor bestemme $f(U)$ og vise, at $f(U)\subseteq U$.
hint
Da $f$ er lineær, er $f(U)=\spanVec {f(\cos t), f(\sin t), f(\e^t)}$.
hint
Udregn billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)$, $f(\sin t)$ og $f(\e^t)$ og vis, at de alle tilhører $U$.
answer
Billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ tilhører alle $U$, så $f$ afbilder $U$ ind i sig selv.
X
Angiv afbildningsmatricen for $\,f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,(\cos t, \sin t, \e^t)\,.$
hint
Afbildningsmatricen består af billederne af de tre basisvektorer udtrykt som vektorer i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$.
hint
Hvordan ser billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ ud, hvis du udtrykker dem i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$?
hint
Du skal blot opstille billedernes koefficienter i talvektorer og samle dem i en afbildningsmatrix.
