\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Panserformlen. Håndregning

Givet den inhomogene differentialligning

\begin{equation} x’(t)-2x(t)=3t\,, \,\, t \in \reel\,.\end{equation}

A

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

B

Find den løsning, hvis graf indeholder punktet $(0,-1)$.

Givet den inhomogene differentialligning \begin{equation} x’(t)+\frac{1}{t}x(t)=-2t^2, \quad t>0.\end{equation}

C

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

D

Find den betingede løsning, hvor $ x(1)=-1 $.

For et vilkårligt komplekst tal $\,c\neq 0\,$ betragtes differentialligningen

$$ z'(t)-c\cdot z(t)=2 $$
E

Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.

F

Bestem for $\,c=i-1\,$ den betingede løsning $\,z(t)\,$ som opfylder $\,z(0)=1\,.$


Opg 2: Førsteordens lineær differentialligning med Maple

Givet den inhomogene differentialligning

$$ x'(t)+\frac{1}{7}\,x(t)=3-2\cos(t). $$
G

Find ved hjælp af Maple den fuldstændige løsning til differentialligningen.

H

Find igen ved hjælp af Maple den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen $ x(0)=0 $.

I

Plot din løsning, evt. med forskellige begyndelsesbetingelser.


Opg 3: Struktursætningen

I denne opgave udnyttes viden om lineære afbildninger til at løse tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger. I hvert eksempel går vi trinvist frem.

J

En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved

$$\,f(x(t))= x'(t)\,.$$

Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Angiv en løs ligningen $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

K

En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved

$$\,f(x(t))= x'(t)-x(t)\,.$$

Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 5\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

L

En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet

$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$

Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løs ligningen $\,f(x(t))= 2t\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.

M

Angiv i sædvanlig Leibniz notation de tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger der er løst ovenfor.


Opg 4: Panserformel eller struktursætning?

Givet differentialligningen

$$\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)+\cos(t)\cdot x(t)=\cos(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
N

Løs differentialligningen ved hjælp af panserformlen (brug evt. simuleret håndregning med Maple, idet stamfunktionen er ikke helt nem at udregne i hånden).

O

Løs differentialligningen ved hjælp af struktursætningen.


Opg 5: Superposition

Opgaven ønskes løst med brug af struktursætningen.

P

Gæt en løsning til differentialligningen \begin{equation} x’(t)+x(t)=2\cos t\,,\,\,t\in\Bbb R. \end{equation}

Q

Gæt en løsning til differentialligningen \begin{equation} x’(t)+x(t)=t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R. \end{equation}

R

Løs differentialligningen

$$ x'(t)+x(t)=2\cos t +t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.$$


Opg 6: Modellering af fysisk problem

Vi introducerer hermed en interaktiv opgavetype kaldet eMaple. Meningen er at du/I selv helt fra bunden skal modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med modellen.

Fremgangsmåden er at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Efter du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på løsningsforslaget.

S

Download nu filen \href{/uploads/MapleDemoE/eMaple1.mw}{eMaple1} og god fornøjelse med modelleringen.


Opg 7: Lineære og ulineære differentialligninger

Betragt følgende syv 1. ordens differentialligninger

  1. $x’(t)+t \cdot x(t) \cdot (1+x(t))=0, \quad t \in \reel.$
  2. $x’(t)+t^2\cdot x(t)=0, \quad t \in \reel.$
  3. $x’(t)+x(t)=t^2, \quad t \in \reel.$
  4. $x’(t)+(x(t))^2=t, \quad t \in \reel.$
  5. $x’(t)+t^3 \cdot x(t)=0, \quad t \in \reel.$
  6. $x’(t)+\e^{x(t)}=1, \quad t \in \reel.$
  7. $(x’(t))^2+x(t)=0, \quad t \in \reel.$
T

Tre af ligningerne er lineære, hvilke?

U

Løs de tre lineære ligninger, idet du kun anvender Maple til simuleret håndregning.

V

Find ved hjælp af Maple mindst én løsning til hver af de syv differentialligninger.

W

Eksperimentér med løsningerne: Plot dem med forskellige valg af den arbitrære konstant $c$.

Opg 8: Termodynamik

En nybrygget kop kaffe stilles på køkkenbordet til afkøling. Afkølingen følger Newtons afkølingslov: Ændringen i kaffens temperatur er ligefrem proportional med forskellen mellem kaffens temperatur og stuetemperaturen, dvs.

$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-T_{stue}) $$

hvor $T(t)$ er kaffens temperatur til tiden $t$, $T_{stue}$ er stuetemperaturen og $k$ er en positiv konstant.

A

Find en generel løsning til differentialligningen ($k$ og $T_{stue}$ er ubekendte og indgår i løsningen)

En skoldhed kop kaffe har gerne temperaturen $96^{\circ}C$. Ved en stuetemperatur på $20^{\circ}C$ har kaffen nået en drikkelig temperatur på $55^{\circ}C$ efter 12 minutter.

B

Find $k$.

En fortravlet forelæser mener ikke at kunne vente så længe, så hun stiller kaffen i køleskabet ($5^{\circ}C$).

C

Kan hendes kaffe nå at blive afkølet på de 8 minutter, hendes pause varer?

D

Hvilken temperatur skal køleskabet have, hvis kaffen skal afkøles på præcis 8 minutter?


Opg 9: Komplekse differentialligninger. Håndregning

I eNote 1 om komplekse tal indføres de såkaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Det er funktioner $z(t)$ på formen

$$z(t)=x(t)+i\cdot y(t)$$

hvor $x(t)$ og $y(t)$ er reelle funktioner. I den nævnte eNote vises at

$$z'(t)=x'(t)+i\cdot y'(t)\,.$$

De komplekse funktioner $z(t)$ som er defineret for alle $t \in \reel\,,$ og som kan differentieres et vilkårligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes $\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\,.$

E

En afbildning $f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved

$$f(z(t))= z'(t) -c\cdot z(t)\,\,,\,c\in \mathbb C\,.$$

Det oplyses at $f$ er lineær (skal ikke vises). Vis at $\,k\,\e^{ct}\,$ for ethvert $\,k\in \mathbb C\,$ tilhører $\ker(f)\,.$ Antag nu $\,c\neq 0\,.$ Vis at $\,-\frac 1c + k\,\e^{ct}\,$ for ethvert $\,k\in \mathbb C\,$ er en løsning på ligningen $\,f\left(z(t)\right)=1\,.$

F

En afbildning $f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved

$$f(z(t))= z''(t) + z(t)\,.$$

Det oplyses at $f$ er lineær (skal ikke vises). Gør rede for at $U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}$ er et 2-dimensionalt underrum af $\ker(f)\,.$


Opg 10: Lineær afbildning på polynomiumsrum

I vektorrummet $P_2(\reel)$ er givet vektorerne

$$ P_1(x)=1+x-x^2, \; P_2(x)=2+x-x^2\;\mathrm{og}\; P_3(x)=1-x^2. $$

Lad endvidere $f:P_2(\reel)\rightarrow P_2(\reel)$ være den lineære afbildning, der med hensyn til monomiebasis $(1,x,x^2)$ i $P_2(\reel)$ har afbildningsmatricen

$$ \matind mFm=\begin{matr}{rrr} 1 & 6 & 4 \\\\ 1 & 3 & 3 \\\\ -1 & -4 & -3 \end{matr}. $$
G

Vis, at $(P_1(x),P_2(x),P_3(x))$ udgør en basis for $P_2(\reel)$.

H

Skriv $f(6-x-2x^2)$ dels som en linearkombination af 1, $x$ og $x^2$ og dels som en linearkombination af $P_1(x)$, $P_2(x)$ og $P_3(x)$.


Opg 11: Lineær afbildning på funktionsrum. Advanced

Lad $\mathbf{U}$ være det underrum af $C^\infty (\reel)$, som er udspændt af vektorerne $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$.

I

Vis, at $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$ udgør en basis for $\mathbf{U}$.

En lineær afbildning $f:C^\infty (\reel)\rightarrow C^\infty (\reel)$ er givet ved:

$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
J

Vis, at $f$ afbilder $\mathbf{U}$ ind i sig selv.

K

Angiv afbildningsmatricen for $f:\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}$ med hensyn til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$.


Opg 12: Træningsopgave

Givet matricerne

$$ \mA=\begin{matr}{rrrr} 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & -1 & -3 \end{matr}\;\mathrm{og}\;\mD=\begin{matr}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{matr}. $$

Lad $f:\reel^3\rightarrow\reel^4$ betegne den lineære afbildning, der med hensyn til de sædvanlige baser i $\reel^3$ og $\reel^4$ har $\mA$ som afbildningsmatrix.

L

Vis, at $\mv_1=(1,0,0)$, $\mv_2=(0,1,0)$ og $\mv_3=(1,-2,1)$ udgør en basis for $\reel^3$.

M

Find koordinaterne for $f(\mv_1)$, $f(\mv_2)$ og $f(\mv_3)$ i forhold til den sædvanlige basis i $\reel^4$.

N

Vis, at $\mD$ er regulær, og udregn $\mD^{-1}$. Vis, at $\md_1=(1,-1,1,1)$, $\md_2=(1,0,2,-1)$, $\md_3=(0,0,1,0)$ og $\md_4=(0,0,0,1)$ udgør en basis for $\reel^4$.

O

Angiv koordinaterne for $\vekind eb=(1,1,3,-3)$ i forhold til $d$-basis $(\md_1,\md_2,\md_3,\md_4)$.

P

Find koordinaterne for $f(\mv_1)$, $f(\mv_2)$ og $f(\mv_3)$ i forhold til $d$-basis, og find afbildningsmatricen for $f$ med hensyn til $v$-basis $(\mv_1,\mv_2,\mv_3)$ i $\reel^3$ og $d$-basis i $\reel^4$.

Opg 13: Træningsopgave

Lad $f:P_1(\reel)\rightarrow P_1(\reel)$ være en lineær afbildning, som opfylder \begin{equation} \begin{aligned} f(1+4x)&=1-2x\quad\mathrm{og} \
f(-2-9x)&=2+4x. \end{aligned} \end{equation}

A

Angiv afbildningsmatricen for $f$ med hensyn til monomiebasis $(1,x)$.

B

Find polynomiet $f(1+3x)$.