For et vilkårligt komplekst tal $\,c\neq 0\,$ betragtes differentialligningen
$$ z'(t)-c\cdot z(t)=2 $$
E
Find vha. panserformlen den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Du får nok brug for \tref{NUID43-tn29_diffecz}{sætning} og igen \tref{NUID43-tn29_regnDiff}{regnereglerne}.
answer
$z(t)=-\frac 2c + k\,\e^{ct}\,$ hvor $\,k\in \Bbb C,.$
F
Bestem for $\,c=i-1\,$ den betingede løsning $\,z(t)\,$ som opfylder $\,z(0)=1\,.$
answer
$z(t)=1+i-i\cdot\e^{(i-1)t}\,.$
Opg 2: Førsteordens lineær differentialligning med Maple
Givet den inhomogene differentialligning
$$ x'(t)+\frac{1}{7}\,x(t)=3-2\cos(t). $$
G
Find ved hjælp af Maple den fuldstændige løsning til differentialligningen.
hint
Vink til dette og de øvrige spørgsmål i denne opgave: Se dagens MapleDemo basic.
H
Find igen ved hjælp af Maple den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen $ x(0)=0 $.
I
Plot din løsning, evt. med forskellige begyndelsesbetingelser.
Opg 3: Struktursætningen
I denne opgave udnyttes viden om lineære afbildninger til at løse tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger. I hvert eksempel går vi trinvist frem.
J
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Angiv en løs ligningen $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Lineariteten følger af kendte regler for differentialkvotient, hvilke?
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er konstant 0?
hint
Angiv en funktion hvis differentialkvotient er lig med $\sin( t)\,.$
answer
$\ker(f)$ er alle funktioner af typen: $x(t)=k\,.$
$x_0(t)=-\cos(t)$ er som bekendt en stamfunktion til $\sin(t)\,.$
Den fuldstændige løsning på $\,f(x(t))= \sin (t)\,$ er i følge struktursætningen funktionerne
$$x(t)=-\cos( t)+k\,,\,\,t \in \reel\,$$
hvor $k$ er et vilkårligt reelt tal.
K
En afbildning $f:C^\infty(\reel)\rightarrow C^\infty(\reel)$ er givet ved
$$\,f(x(t))= x'(t)-x(t)\,.$$
Vis, at $f$ er lineær og bestem $\,\ker(f)\,.$ Gæt en løsning til ligningen $\,f(x(t))= 5\,$ og angiv derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Læs \tref{NUID21-tn8.def_linAfb}{definition}.
hint
Gymnasieviden: Hvilke funktioner opfylder, at deres differentialkvotient er lig med funktionen selv?
Angiv i sædvanlig Leibniz notation de tre inhomogene lineære 1. ordens differentialligninger der er løst ovenfor.
answer
Den første kan skrives: $\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)=\sin(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$
Opg 4: Panserformel eller struktursætning?
Givet differentialligningen
$$\,\displaystyle{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\,x(t)+\cos(t)\cdot x(t)=\cos(t)}\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
N
Løs differentialligningen ved hjælp af panserformlen (brug evt. simuleret håndregning med Maple, idet stamfunktionen er ikke helt nem at udregne i hånden).
O
Løs differentialligningen ved hjælp af struktursætningen.
hint
Find først en løsning til den homogene differentialfunktion. Gæt derefter en (partikulær) løsning til den inhomogene. Det er meget nemt!
Opgaven ønskes løst med brug af struktursætningen.
P
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=2\cos t\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Findes der en løsning til ligningen af formen $x(t)=a \cdot \cos t +b \cdot \sin t$?
hint
Indsæt $\,x(t)=a \cdot \cos t+b \cdot \sin t\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a$ og $b$ skal være.
answer
$x(t)= \cos t+ \sin t$
Q
Gæt en løsning til differentialligningen
\begin{equation}
x’(t)+x(t)=t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.
\end{equation}
hint
Indsæt $\,x(t)=at^2+bt+c\,$ i differentialligningens venstreside og find ud af hvad $a,$$b$ og $c$ skal være.
answer
$x(t)=t^2-2t+1\,.$
R
Løs differentialligningen
$$
x'(t)+x(t)=2\cos t +t^2-1\,,\,\,t\in\Bbb R.$$
answer
$x(t)=c\e^{-t}+\cos t+\sin t+t^2-2t+1\,$ hvor $c$ er et vilkårligt reelt tal og $t$ en reel variabel.
Opg 6: Modellering af fysisk problem
Vi introducerer hermed en interaktiv opgavetype kaldet eMaple. Meningen er at du/I selv helt fra bunden skal modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med modellen.
Fremgangsmåden er at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Efter du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på løsningsforslaget.
S
Download nu filen \href{/uploads/MapleDemoE/eMaple1.mw}{eMaple1} og god fornøjelse med modelleringen.
Opg 7: Lineære og ulineære differentialligninger
Betragt følgende syv 1. ordens differentialligninger
$x’(t)+t \cdot x(t) \cdot (1+x(t))=0, \quad t \in \reel.$
$x’(t)+t^2\cdot x(t)=0, \quad t \in \reel.$
$x’(t)+x(t)=t^2, \quad t \in \reel.$
$x’(t)+(x(t))^2=t, \quad t \in \reel.$
$x’(t)+t^3 \cdot x(t)=0, \quad t \in \reel.$
$x’(t)+\e^{x(t)}=1, \quad t \in \reel.$
$(x’(t))^2+x(t)=0, \quad t \in \reel.$
T
Tre af ligningerne er lineære, hvilke?
hint
Hvordan er det nu, man kan se om en ligning er lineær? Se evt.
\tref{NUID10-saet.lindiff1}{defintion}.
hint
Indsæt to funktioner $x_1(t)$ og $x_2(t)$ samt deres sum $x_1(t)+x_2(t)$ i differentialligningens venstreside.
hint
Blev de to venstresider ens? Indsæt nu $k \cdot x_1(t)$ i venstresiden. Kan $k$ trækkes udenfor en parentes?
hint
Hvis $VS(x_1(t)+x_2(t))=VS(x_1(t))+VS(x_2(t))$ og $VS(k \cdot x_1(t))=k \cdot VS(x_1(t))$ (hvor $VS(x(t))$ er en funktion indsat i differentialligningens venstreside), er differentialligningen lineær, ellers er den ikke lineær.
answer
2, 3 og 5 er lineære.
U
Løs de tre lineære ligninger, idet du kun anvender Maple til simuleret håndregning.
hint
Brug f.eks. Se \tref{NUID10-saet.panser1}{sætning}.
answer
$x(t)=c \cdot \e^{-\frac{t^3}{3}}, \quad c \in \reel$
$x(t)=c \cdot \e^{-t}+t^2-2t+2, \quad c \in \reel$
$x(t)=c \cdot \e^{-\frac{t^4}{4}}, \quad c \in \reel$.
V
Find ved hjælp af Maple mindst én løsning til hver af de syv differentialligninger.
hint
Maple: dsolve.
hint
Se \href{http://e-math.imm.dtu.dk/fileadmin/maple/11a_1ordDiffligning.mw}{eMaple} om 1. ordens differentialligninger.
answer
$x(t) = \dfrac{1}{c \cdot \e^{\frac{t^2}{2}}-1}, \quad c \in \reel$
$x(t)=c \cdot \e^{-\frac{t^3}{3}}, \quad c \in \reel$
$x(t)=c \cdot \e^{-t}+t^2-2t+2, \quad c \in \reel$
$x(t)=\dfrac{c \cdot AiryAi(1,t)+AiryBi(1,t)}{c \cdot AiryAi(t)+AiryBi(t)}, \quad c \in \reel$
$x(t)=c \cdot \e^{-\frac{t^4}{4}}, \quad c \in \reel$
$x(t)=t- \ln (\e^{t+c}-1) +c, \quad c \in \reel$
$x(t)=- \frac{1}{4}t^2+\frac{c}{2}t- \frac{c^2}{4}, \quad c \in \reel$
W
Eksperimentér med løsningerne: Plot dem med forskellige valg af den arbitrære konstant $c$.
Opg 8: Termodynamik
En nybrygget kop kaffe stilles på køkkenbordet til afkøling. Afkølingen følger Newtons afkølingslov: Ændringen i kaffens temperatur er ligefrem proportional med forskellen mellem kaffens temperatur og stuetemperaturen, dvs.
$$
\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{stue})
$$
hvor $T(t)$ er kaffens temperatur til tiden $t$, $T_{stue}$ er stuetemperaturen og $k$ er en positiv konstant.
A
Find en generel løsning til differentialligningen ($k$ og $T_{stue}$ er ubekendte og indgår i løsningen)
answer
$T(t)=c \cdot e^{-kt}+T_{stue}, c \in \reel.$
En skoldhed kop kaffe har gerne temperaturen $96^{\circ}C$. Ved en stuetemperatur på $20^{\circ}C$ har kaffen nået en drikkelig temperatur på $55^{\circ}C$ efter 12 minutter.
B
Find $k$.
answer
$k=\frac{\ln \frac{76}{35}}{12}\approx 0,065$.
En fortravlet forelæser mener ikke at kunne vente så længe, så hun stiller kaffen i køleskabet ($5^{\circ}C$).
C
Kan hendes kaffe nå at blive afkølet på de 8 minutter, hendes pause varer?
answer
Nej, der går 9,27 minutter.
D
Hvilken temperatur skal køleskabet have, hvis kaffen skal afkøles på præcis 8 minutter?
I eNote 1 om komplekse tal indføres de såkaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Det er funktioner $z(t)$ på formen
$$z(t)=x(t)+i\cdot y(t)$$
hvor $x(t)$ og $y(t)$ er reelle funktioner. I den nævnte eNote vises at
$$z'(t)=x'(t)+i\cdot y'(t)\,.$$
De komplekse funktioner $z(t)$ som er defineret for alle $t \in \reel\,,$ og som kan differentieres et vilkårligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes $\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\,.$
E
En afbildning $f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved
Det oplyses at $f$ er lineær (skal ikke vises). Vis at $\,k\,\e^{ct}\,$ for ethvert $\,k\in \mathbb C\,$ tilhører $\ker(f)\,.$ Antag nu $\,c\neq 0\,.$ Vis at $\,-\frac 1c + k\,\e^{ct}\,$ for ethvert $\,k\in \mathbb C\,$ er en løsning på ligningen $\,f\left(z(t)\right)=1\,.$
hint
Tilhører kernen: Du får nok brug for
\tref{NUID43-tn29_diffecz}{sætning} og igen \tref{NUID43-tn29_regnDiff}{regnereglerne}.
hint
Ligningen:
Du behøver sådan set blot indsætte $\,-\frac 1c\,$ i $\,f(z(t))\,.$ Hvorfor?
En afbildning $f:\left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)\rightarrow \left(C^\infty(\reel),\mathbb C\right)$ er givet ved
$$f(z(t))= z''(t) + z(t)\,.$$
Det oplyses at $f$ er lineær (skal ikke vises). Gør rede for at $U=\mathrm{span}\left{\e^{it},\e^{-it}\right}$ er et 2-dimensionalt underrum af $\ker(f)\,.$
hint
Vis at $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ tilhører kernen, og at de er lineært uafhængige.
hint
Lineært uafhængige: Vis at
$$\,k_1\e^{it}+k_2\e^{-it}=0\,$$
kun er opfyldt for alle $\,t\,$ hvis $\,k_1=k_2=0\,.$ Skal fx gælde for $\,t=0\,$ og $\,\displaystyle{t=\frac{\pi}2}\,.$
answer
Kernen er (som alle kerner) et underrum i definitionsrummet og opfylder derved stabilitetskravene. Da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ tilhører kernen, må enhver linearkombinationen af dem derfor tilhøre kernen. Endelig: Da en undspænding altid er et underrum, og da $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ er lineært uafhængige, må $U$ være et 2-dimensionalt underrum i kernen. (Faktisk udspænder $\,\e^{it}\,$ og $\,\e^{-it}\,$ hele kernen, det har vi dog ikke endnu teori nok til at vise).
Lad endvidere $f:P_2(\reel)\rightarrow P_2(\reel)$ være den lineære afbildning, der med hensyn til monomiebasis $(1,x,x^2)$ i $P_2(\reel)$ har afbildningsmatricen
Vis, at $(P_1(x),P_2(x),P_3(x))$ udgør en basis for $P_2(\reel)$.
hint
Se \tref{NUID18-tn7.methBasis}{metode}.
answer
Da $\dim (P_2(\reel))=3\,$, og da de tre polynomier $P_1(x)$, $P_2(x)$ og $P_3(x)$ er lineært uafhængige, idet matricen $\begin{matr}{ccc} _\mathrm mP_1(x) & _\mathrm mP_2(x) & _\mathrm mP_3(x)\end{matr}$ er regulær, udgør de tre polynomier en basis for $P_2(\reel)$.
H
Skriv $f(6-x-2x^2)$ dels som en linearkombination af 1, $x$ og $x^2$ og dels som en linearkombination af $P_1(x)$, $P_2(x)$ og $P_3(x)$.
hint
Udregn både $_\mathrm mf(6-x-2x^2)$ i forhold til monomiebasis og $_\mathrm pf(6-x-2x^2)$ i forhold til $P$-basis $(P_1(x),P_2(x),P_3(x))$.
$_\mathrm mf(6-x-2x^2)=\begin{matr}{rrr} -8 \\ -3 \\ 4 \end{matr}$, så $f(6-x-2x^2)=4x^2-3x-8\,$.
$_\mathrm pf(6-x-2x^2)=\begin{matr}{rrr} 1 \\ -4 \\ -1 \end{matr}$, så $f(6-x-2x^2)=P_1(x)-4P_2(x)-P_3(x)\,$.
Opg 11: Lineær afbildning på funktionsrum. Advanced
Lad $\mathbf{U}$ være det underrum af $C^\infty (\reel)$, som er udspændt af vektorerne $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$.
I
Vis, at $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$ udgør en basis for $\mathbf{U}$.
hint
$\mathbf{U}$ er givet som det underrum, der udspændes af $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$, så vi skal blot vise, at de tre vektorer er lineært uafhængige.
hint
Når vi skal vise, at tre vektorer, $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$ og $\mathbf{u}_3$ er lineært uafhængige, gøres det lettest ved at vise, at en linearkombination af vektorerne kun kan blive nul, hvis alle koefficienterne er 0, se \tref{NUID18-tn7.linafh}{sætning}.
hint
Kan ligningen $k_1\cdot\mathbf{u}_1+k_2\cdot\mathbf{u}_2+k_3\cdot\mathbf{u}_3=0\Leftrightarrow k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ have andre løsninger end nulløsningen?
hint
En løsning til ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ skal være gyldig for alle $t$. Prøv nu at sætte $t=0$, $t=\frac{\pi}{2}$ og $t=\pi$ og indsæt disse værdier i ligningen.
hint
Du får nu følgende tre homogene lineære ligninger:
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_1\cdot 1+k_2\cdot 0+k_3\cdot 1&=0 \
k_1\cdot 0+k_2\cdot 1+k_3\cdot \e^\frac{\pi}{2}&=0\\
k_1\cdot (-1)+k_2\cdot 0+k_3\cdot \e^\pi &=0.
\end{aligned}
\end{equation}
Løs dette ligningssystem.
hint
Opstil først ligningssystemets totalmatrix. Har den fuld rang?
answer
Ligningen $k_1\cdot\cos t+k_2\cdot\sin t+k_3\cdot\e^t=0$ er kun tilfredsstillet for alle $t$, hvis $k_1=k_2=k_3=0$. De tre vektorer $\cos t$, $\sin t$ og $\e^t$ er altså lineært uafhængige og da de udspænder $\mathbf{U}$, kan de udgøre en basis for $\mathbf{U}$.
En lineær afbildning $f:C^\infty (\reel)\rightarrow C^\infty (\reel)$ er givet ved:
$$f(x(t))= x'(t)+2x(t)\,.$$
J
Vis, at $f$ afbilder $\mathbf{U}$ ind i sig selv.
hint
At $f$ afbilder $\mathbf{U}$ ind i sig selv betyder blot, at billedrummet $f(\mathbf{U})\subseteq\mathbf{U}$.
hint
Vi skal derfor bestemme $f(\mathbf{U})$ og vise, at $f(\mathbf{U})\subseteq\mathbf{U}$.
hint
Da $f$ er lineær, er $f(\mathbf{U})=\spanVec {f(\cos t), f(\sin t), f(\e^t)}$.
hint
Udregn billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)$, $f(\sin t)$ og $f(\e^t)$ og vis, at de alle tilhører $\mathbf{U}$.
answer
Billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ tilhører alle $\mathbf{U}$, så $f$ afbilder $\mathbf{U}$ ind i sig selv.
K
Angiv afbildningsmatricen for $f:\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}$ med hensyn til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$.
hint
Afbildningsmatricen består af billederne af de tre basisvektorer udtrykt som vektorer i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$.
hint
Hvordan ser billederne af de tre basisvektorer $f(\cos t)=2\cos t -\sin t + 0\cdot\e^t$, $f(\sin t)=\cos t + 2\sin t + 0\cdot\e^t$ og $f(\e^t)=0\cdot\cos t + 0\cdot\sin t + 3e^t$ ud, hvis du udtrykker dem i forhold til basis $(\cos t, \sin t, \e^t)$?
hint
Du skal blot opstille billedernes koefficienter i talvektorer og samle dem i en afbildningsmatrix.
Lad $f:\reel^3\rightarrow\reel^4$ betegne den lineære afbildning, der med hensyn til de sædvanlige baser i $\reel^3$ og $\reel^4$ har $\mA$ som afbildningsmatrix.
L
Vis, at $\mv_1=(1,0,0)$, $\mv_2=(0,1,0)$ og $\mv_3=(1,-2,1)$ udgør en basis for $\reel^3$.
answer
Matricen $\vekind eV=\begin{matr}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matr}$ er regulær, og da $\dim (\reel^3)=3$ udgør $\mv_1$, $\mv_2$ og $\mv_3$ en basis for $\reel^3$.
M
Find koordinaterne for $f(\mv_1)$, $f(\mv_2)$ og $f(\mv_3)$ i forhold til den sædvanlige basis i $\reel^4$.
hint
$f(\mv_1)=\mA\cdot\mv_1$.
answer
$f(\mv_1)=(1,-1,1,1)$, $f(\mv_2)=(1,0,2,-1)$ og $f(\mv_3)=(0,0,0,0)$.
N
Vis, at $\mD$ er regulær, og udregn $\mD^{-1}$.
Vis, at $\md_1=(1,-1,1,1)$, $\md_2=(1,0,2,-1)$, $\md_3=(0,0,1,0)$ og $\md_4=(0,0,0,1)$ udgør en basis for $\reel^4$.
answer
$\mD^{-1}=\begin{matr}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{matr}$.
Da $\mD$ er regulær og $\dim (\reel^4)=4$ udgør $\md_1$, $\md_2$, $\md_3$ og $\md_4$ en basis for $\reel^4$.
O
Angiv koordinaterne for $\vekind eb=(1,1,3,-3)$ i forhold til $d$-basis $(\md_1,\md_2,\md_3,\md_4)$.
Find koordinaterne for $f(\mv_1)$, $f(\mv_2)$ og $f(\mv_3)$ i forhold til $d$-basis, og find afbildningsmatricen for $f$ med hensyn til $v$-basis $(\mv_1,\mv_2,\mv_3)$ i $\reel^3$ og $d$-basis i $\reel^4$.