\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Geometriske egenvektorer

Åbn GeoGebra arket $ $ Egenværdi1

A

Vi betragter mængden af plane vektorer i et sædvanligt $\,(O, \mathbf i, \mathbf j)\,$-koordinatsystem. Alle vektorer tænkes afsat ud fra origo. $\,\mathbf F\,$ angiver afbildningsmatricen for en lineær afbildning $f\,$ med hensyn til standardbasis. En vilkårlig vektor $\,\mathbf x\,$ er tegnet blå, mens billedvektoren $\,\mathbf y=f(\mathbf x)\,$ er rød.

  1. Højreklik $\,\mathbf x\,$ og vælg Tænd animation (eller med Mac: Ctrl+klik på $\,\mathbf x\,$ og Tænd animation). Hvor mange gange opstår der parallellitet mellem $\,\mathbf y=f(\mathbf x)\,$ og $\,\mathbf x\,$ under ét gennemløb af cirklen?

  2. Stop animation med fortryd-knappen i værktøjsbjælken. Flyt (med musen) $\,\mathbf x\,$ hen til det første parallellitets-sted, og bestem forholdet mellem længden af $\,\mathbf y\,$ og længden af $\,\mathbf x\,$. Ligeså med de øvrige parallellitets-steder.

  3. Gør rede for at man (generelt) kan bestemme samtlige egenværdier for $f$ ved at lade $\,\mathbf x\,$ gennemløbe en halvcirkel med (f.eks.) radius R$=1\,$.

Åbn GeoGebra arket $ $ Egenværdi2

B

  1. Drej $\,\mathbf x\,$ rundt i halvcirklen og aflæs samtlige egenværdier. Aflæs endvidere for hver egenværdi én tilhørende (heltallig) egenvektor.

  2. Tjek at de fundne egenværdier er rødder i det karakteristiske polynomium (håndregning).

  3. Kontrollér ved papir/blyant-udregning at de fundne egenvektorer er rigtige.

  4. Du kan ændre $\,\mF\,$ ved at flytte søjlevektorerne $\,\mathbf s1\,$ og $\,\mathbf s2\,$. Gentag forsøget i punkt $1,\,2$ og $3$ ovenfor med de følgende indstillinger af $\,\mF\,$:

$$\begin{matr}{rr}1&0\\\\2&-3\end{matr}\,\,,\, \begin{matr}{rr}3&-1\\\\1&1\end{matr}\,\,\mathrm{og}\,\, \begin{matr}{rr}-2&4\\\\1&-2\end{matr}\,.$$

Hvad er de karakteristiske forskelle i hver af de tre situationer?

  1. Indstil $\,\mF\,$ til $\,\begin{matr}{rr}2&2\\-1&4\end{matr}\,.\,$ Drej $\,\mathbf x\,$ rundt i halvcirklen og aflæs samtlige reelle egenværdier.

Opg 2: Komplekse egenværdier og egenvektorer

Givet matricen

$$\mA=\begin{matr}{rr}2&2\\\\-1&4\end{matr}\,.$$
C

Opstil det karakteriske polynomium for $\mA\,,$ og find ved hjælp af dette egenværdierne for $\mA\,.$

D

Opstil den karakteristiske matrix for $\mA$ svarende til en af egenværdierne, og find ved hjælp af den det egenrum som hører til egenværdien.

E

Angiv uden videre beregninger det egenrum der hører til den anden egenværdi.

F

Tjek resultaterne med Maple’s Eigenvectors.

Opg 3: Egenværdier og egenvektorer. Håndregning

En lineær afbildning $\,f: \reel^3\rightarrow\reel^3\,$ er med hensyn til den sædvanlige basis i $\,\reel^3\,$ givet ved afbildningsmatricen \begin{equation} \mA=\begin{matr}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matr}\,. \end{equation}

A

Bestem det karakteristiske polynomium og find egenværdierne for $\,f\,$. Angiv egenværdiernes algebraiske multiplicitet. Bestem de reelle egenrum som hører til hver af egenværdierne, og angiv egenværdiernes geometriske multiplicitet.

B

Hvis det er muligt: Vælg en basis for $\reel^3$ med hensyn til hvilken afbildningsmatricen for $f$ bliver en diagonalmatrix, og opskriv diagonalmatricen.

Vi betragter nu matricen \begin{equation} \mB=\begin{matr}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matr}. \end{equation}

C

Find egenværdierne for $\mB$ og angiv deres algebraiske multiplicitet. Bestem de reelle egenrum som hører til hver af egenværdierne, og angiv egenværdiernes geometriske multiplicitet.

D

Hvis det er muligt: Opstil en regulær matrix $\,\mV\,$ og en diagonalmatrix $\,\mathbf{\Lambda}\,$ som opfylder

$$\,\mV^{-1}\cdot\mB\cdot\mV=\mathbf{\Lambda}\,.$$

Opg 4: Lineære strækninger i planen

Åbn GeoGebra arket $ $ Egenværdi3.

A

  1. $\,\mF\,$ afbilder det blå objekt på det røde. Find ved
    at flytte søjlevektorerne $\,\mathbf s1\,$ og $\,\mathbf s2\,$ en diagonalmatrix som afbilder det røde objekt på den ønskede, stiplede placering.

  2. Betragt også de afbildninger der svarer til $\,\,\begin{matr}{rr} 3 &0 \\ 0 & -1 \end{matr}\,\,$ og $\,\,\begin{matr}{rr} 1 &0 \\ 0 & 2 \end{matr}\,\,.$

  3. Gør rede for at der generelt gælder at diagonalelementerne i diagonalmatricer er egenværdier for $\,\mathbf F\,$ med $\,\mathbf i\,$ hhv. $\,\mathbf j\,$ som tilhørende egenvektorer. Hvad har egenværdierne med afbildningernes størrelsesforhold i retningen $\,\mathbf x1\,$ hhv. $\,\mathbf x2\,$ at gøre?

Åbn GeoGebra arket Egenværdi4.

B

  1. Flyt på $\,(\mathbf x1\,$ og $\,\mathbf x2)\,$ således at $\,(\mathbf x1,\mathbf x2)\,$ bliver en ny basis bestående af egenvektorer for $f$ , og angiv de tilhørende egenværdier. Vink: Egenvektorerne bør være så korte som det er muligt når deres koordinater er hele tal.

  2. Hvilke koordinater har punktet $\,(6,1)\,$ i det nye $\,(0,\mathbf x1,\mathbf x2)$-koordinatsystem?

Åbn GeoGebra arket $ $ Egenværdi5.

C

Det blå objekt ligger fast i $\,(0,\mathbf x1,\mathbf x2)$-koordinatsystemet!

  1. Indstil afbildningsmatricen til $\,\,\mF=\begin{matr}{rr} 1 &-2 \\ -1 & 0 \end{matr}\,\,$ ved at flytte på søjlevektorerne $\,(\mathbf s1\,$ og $\,\mathbf s2)\,.$

  2. Find ved at flytte på $\,(\mathbf x1\,$ og $\,\mathbf x2)\,$ en ny basis $\,(\mathbf x1,\mathbf x2)\,$ bestående af egenvektorer for F, og bestem de tilhørende egenværdier. Opstil afbildningsmatricen med hensyn til basis $\,(\mathbf x1,\mathbf x2)\,.$\bs Hvordan ser du forholdet mellem det blå og det røde objekt?

  3. Gentag undersøgelsen i det foregående spørgsmål med den afbildningsmatrix der er givet på GeoGebra-arket $ $ Egenværdi6.

  4. Formulér en samlet hypotese om hvad egenværdier og deres tilhørende egenvektorer siger om den lineære afbildning de kommer fra.

Opg 5: Egenværdier i funktionsrum

Betragt den lineære afbildning $\,f:C^{\infty}(\reel)\rightarrow C^{\infty}(\reel)\,$ givet ved

$$ f(x(t))=x'(t)-x(t)\,.$$
A

Gør rede for at der for ethvert $\,k \in \reel\,$ gælder at funktionen $\,\e^{k\cdot t}\,$ (hvor $\,t\in \reel\,$) er en egenvektor for $\,f\,,$ og angiv den tilhørende egenværdi.

B

Gør rede for at de fire funktioner $\,\e^{k\cdot t}\,$ hvor $\,k\in\left{-1,0,1,2\right}\,$ er lineært uafhængige.

Lad $\,U\,$ betegne det underrum i $\,C^{\infty}(\reel)\,$ som har basis $\,v=(\e^{-t},\,1,\,\e^t,\,\e^{2\cdot t}\,)\,.$

C

Vis at billedmængden $\,f(U)\,$ er et underrum i $\,U\,,$ og bestem afbildningsmatricen $\,\matind vFv\,$ for afbildningen $f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,v\,.$

D

Bestem koordinatvektoren for

$$\,q(t)=-6\e^{-t}+\e^{2t}+2\,$$

med hensyn til basis $\,v\,,$ og find ved hjælp af den i forrige spørgsmål fundne afbildningsmatrix samtlige løsninger i $\,U\,$ til ligningen

$$\,f(x(t))=q(t)\,.$$

E

Sammenlign resultatet i foregående spørgsmål med det som Maple’s dsolve angiver. Hvorfor er der ikke i $\,C^{\infty}(\reel)\,$ flere løsninger til ligningen

$$\,f(x(t))=q(t)\,\,\,\,\mathrm{i} \,C^{\infty}(\reel)\,$$

end der er i underrummet $\,U\,?$

Opg 6: Diagonalisering af matrix. Simuleret håndregning

En lineær afbildning $\,f: \reel^3\rightarrow\reel^3\,$ har med hensyn til den sædvanlige basis i $\,\reel^3\,$ afbildningsmatricen \begin{equation} \mA=\begin{matr}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matr}. \end{equation}

A

Angiv en basis $\,v\,$ for $\,\reel^3\,$ med hensyn til hvilken afbildningsmatricen for $\,f\,$ bliver en diagonalmatrix, og angiv den tilsvarende basisskiftematrix $\,\matind eMv\,$ som skifter fra $v$-koordinater til $e$-koordinater.

B

Angiv en regulær matrix $\,\mV\,$ og en diagonalmatrix $\,\mathbf{\Lambda}\,$, så

$$\mathbf{\Lambda}=\mV^{-1}\cdot\mA\cdot\mV\,.$$

Opg 7: Diagonalisering af matrix. Maple

A

Find ved hjælp af Eigenvectors samtlige egenværdier og de tilhørende reelle egenrum for matricen

$$\,\mB=\begin{matr}{rrrr} -1 & -1 & -6 & 3 \\\\ 1 & -2 & -3 & 0 \\\\ -1 & 1 &0 & 1 \\\\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{matr}\,.$$

B

Undersøg om der findes en regulær matrix $\,\mV\,$ og en diagonalmatrix $\,\mathbf{\Lambda}\,$, så

$$\mathbf{\Lambda}=\mV^{-1}\cdot\mB\cdot\mV\,.$$

Opg 8: Egenvektorers lineære uafhængighed. Teoriopgave

Antag, at $\,\lambda_1\,$ og $\,\lambda_2\,$ er to forskellige egenværdier for en matrix $\,\mA\,.$ Der findes således vektorer $\,\mv_1\neq 0\,$ og $\,\mv_2\neq 0\,$ så \begin{equation} \mA\cdot\mv_1=\lambda_1\cdot\mv_1\;\mathrm{og}\;\mA\cdot\mv_2=\lambda_2\cdot\mv_2,\quad\mathrm{hvor}\;\lambda_1\neq\lambda_2\,. \end{equation}

A

Vis nu, at egenvektorerne $\,\mv_1\,$ og $\,\mv_2\,$ er lineært uafhængige.

%####### begin:answer %Argumentationen gennemføres som et modstridsbevis: Antag, at $\mv_1$ og $\mv_2$ er lineært afhængige. Dermed findes der et $k\neq 0$, så $\mv_2=k\cdot\mv_1$. Nu er på den ene side $\mA\cdot\mv_2=\mA\cdot k\cdot\mv_1=k\cdot\lambda_1\cdot\mv_1$ og på den anden side $\mA\cdot\mv_2=\lambda_2\cdot\mv_2=\lambda_2\cdot k\cdot\mv_1$. Ved at sætte højresiderne fra disse to ligninger lig hinanden, opnåes en ny ligning $k\cdot\lambda_1\cdot\mv_1=\lambda_2\cdot k\cdot\mv_1\Rightarrow k(\lambda_1-\lambda_2)\mv_1=\mnul$, hvilket kun kan lade sig gøre, hvis $k=0$ eller $\lambda_1=\lambda_2$, og det strider jo mod de indledende antagelser. Vi kan derfor konkludere, at $\mv_1$ og $\mv_2$ er lineært uafhængige. %####### end:answer

B

Sammenlign resultatet her med Hjælpesætning 13.9 i eNote 13 der handler om egenvektorers lineære uafhængighed.