Maple-opgave.
Givet den inhomogene differentialligning
\begin{equation}
x’‘(t)+4x’(t)+29x(t)=-25\sin(2t)+\frac{109}{4}\mathrm e^{-\frac 12 t}-8\cos(2t), \quad t \in \reel.
\end{equation}
D
Find vha. Maple’s dsolve den fuldstændige løsning til differentialligningen.
E
Plot den løsning hvis graf går gennem punktet $(0,1)\,$, og har hældningskoefficienten $-\frac 52\,$ i $\,t=0\,$. Plot derefter den løsning hvis graf også går gennem punktet $(0,1)\,,$ men som har hældningskoefficienten $\,\frac 12\,$ i $\,t=0\,$.
hint
Se Dagens Maple-Demo.
answer
$ L_{inhom} = \maengde{c_1\e^{-2t}\sin(5t) + c_2\e^{-2t}\cos(5t) + \e^{-\frac{1}{2}t} - \sin(2t)}{t\in\reel,c_1,c_2\in\reel} $
Den første af de betingede løsninger: $\, x(t)=\e^{-\frac{t}{2}}-\sin(2t)\,.$
Opg 3: Struktursætningen
Betragt den lineære afbildning $\,f:C^{\infty}(\reel)\rightarrow C^{\infty}(\reel)\,$ givet ved
$$
f(x(t))=x''(t)+3x'(t)-4x(t)\,.
$$
F
Gæt en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning
$$
f(x(t))=29-12t
$$
og opstil derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Gæt et førstegradspolynomium, og brug derefter resultatet i opgave 1, eksempel 3.
G
Find med den komplekse gættemetode en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning
$$
f(x(t))=\cos(t)
$$
og opstil derefter den fuldstændige løsning til ligningen.
hint
Der gælder at Re$(\e^{it})=\cos(t)\,.$ Gæt derfor først en funktion af typen $\,c\e^{it}\,,\,\,c\in \Bbb C,.$
H
Find en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning
$$
f(x(t))=29-12t+\cos(t)$$
og opstil derefter den fuldstændige reelle løsning til ligningen.
er lineært uafhængigt (skal ikke vises her). I det følgende betragter vi restriktionen af $\,f\,$ til det 5-dimensionale underrum $\,U\,$ i $\,C^{\infty}(\reel)\,$ der har $\,v\,$ som basis.
I
Vis at billedmængden $\,f(U)\,$ er et underrum i $\,U\,,$ og bestem afbildningsmatricen $\,\matind vFv\,$ for afbildningen $f:U\rightarrow U\,$ med hensyn til basis $\,v\,.$
hint
$\,f(U)\,$ er udspændt af basisvektorernes billeder.
J
Bestem koordinatvektoren for
$$\,q(t)=\cos(t)+29-12t\,$$
og find samtlige løsninger i $\,U\,$ til ligningen
$$\,f(x(t))=q(t)\,.$$
K
Findes der i $\,U\,$ en partikulær løsning $\,x_0(t)\,$ til ligningen
$$\,f(x(t))=q(t)\,$$
som opfylder begyndelsesbetingelserne $\,x_0(0)=0\,$ og $\,x_0’(0)=1?\,$ Kommentér!
Opg 4: Modellering af fysisk situation
I ugens eMaple om differentialligninger skal du/I selv modellere en fysisk situation vha. Maple og eksperimentere med den. Fremgangsmåden er, at man eksekverer kommandoerne én ad gangen - lad derfor være med at bruge Maple-knappen !!! der gennemregner hele arket på én gang. Bemærk felterne XX som du skal erstatte med din egen Maple-kommando. Når du har færdiggjort svaret på et delspørgsmål, er du velkommen til at klikke på trekanten til løsningsforslaget.
A
Download filen eMaple3 og god fornøjelse med modelleringen!
Opg 5: Entydighed af løsning. Teori
Om en differentialligning af formen
\begin{equation}
x’‘(t)+a_1x’(t)+a_0x(t)=q(t), \quad t \in \reel
\end{equation}
bliver det påstået at $\,x_1(t)=\sin(t)\,$ og $\,x_2(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)\,$ begge er løsninger.
B
Bevis ved hjælp af eksistens- og entydighedssætningen at påstanden er forkert.
hint
Bring Sætning 18.19 i eNote 18 i anvendelse.
hint
Findes der tal $\,t_0\,$ der opfylder $\,x_{1}(t_0)=x_{2}(t_0)\,$ og $\,x_{1}’(t_0)=x_{2}’(t_0)\,?$
answer
Når du har fundet et tal $t_0$ der opfylder de to ligninger i det sidste vink, følger det
af eksistens- og entydighedssætningen at påstanden er forkert. Formulér selv præcist hvordan!
Opg 6: Struktur af løsninger. Teori
Givet den inhomogene differentialligning
\begin{equation}
x’‘(t)+a_1x’(t)+a_0x(t)=q(t), \quad t \in \reel.
\end{equation}
samt to partikulære løsninger,
\begin{equation}
x_1(t)=\sin t+2\e^t \quad \mathrm{og} \quad x_2(t)=\sin t+\e^t-\e^{-t}.
\end{equation}
A
Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning.
hint
Hvordan vil du udnytte oplysningen om at de to funktioner begge er partikulære løsninger til den inhomogene ligning.
hint
Differencen mellem de to funktioner er en partikulær løsning til den homogene ligning.
hint
Find $x_1(t)-x_2(t)$. Karakterligningens rødder findes som eksponenterne i den fremkomne funktion, som i øvrigt er een løsning til den tlsvarende homogene ligning.
Samtlige reelle løsninger til en inhomogen lineær differentialligning af 2. orden er
\begin{equation}
x(t)=c_1\e^{-t}\cos 2t+c_2\e^{-t}\sin 2t+5t^3+t^2+12t+7,\quad (c_1,c_2)\in\reel^2.
\end{equation}
B
Opskriv differentialligningen.
hint
Når man har den fuldstændige løsning til den inhomogene, kan man nemt aflæse den fuldstændige løsning løsning på den tilsvarende homogene ligning.
hint
Fra den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning er det muligt at aflæse rødderne til karakterligningen.
hint
Den homogene differentialligning er
$$x''(t)+2x'(t)+5x(t)=0\,.$$
Du finder den inhomogene differentialligning ved at ``sende halen igennem’’:
$$x_0(t)=5t^3+t^2+12t+7$$
er en løsning til den inhomogene ligning, så højresiden af den inhomogene ligning er netop
