\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Recap: Funktioner af én variabel

A

Bestem med udviklingspunktet $\,x_0=0\,$ Taylors grænseformel af grad 2 for funktionen

$$f(x)=2\cos(x)-2\sin(2x)\,,\,\,x\in \reel\,.$$

B

Drilleopgave: En glat funktion $f$ af én variabel opfylder, at $\,f(2)=1\,$, $\,f’(2)=1\,$ og $\,P_2(1)=1\,.$ Bestem det approksimerende polynomium af anden grad $\,P_2(x)\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunkt $\,x_0=2\,$.

Opg 2: Taylors formler og approksimation.

Håndregning: Det er givet funktionen

$$f(x,y)=\e^{x+xy-2y},\quad\mathrm{hvor}\quad (x,y)\in\reel^2.$$
A

Opskriv Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)=(0,0)\,$ på almindelig form.

B

Bestem gradienten $\,\nabla f(0,0)\,$ og Hessematricen $\,\mathbf H f(0,0)\,,$ og opskriv på matrixform Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)=(0,0)\,.$

Intro til det følgende spørgsmål: Vi ønsker nu en approksimeret værdi for $\,f(\frac 34, \frac12)\,$ ud fra et approksimerende andengradspolynomium for $\,f\,.$ Det er selvfølgelig nemt bare at bruge det approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet $\,(0,0)\,$ som vi umiddelbart har fra første spørgsmål. På den anden side ligger $\,(\frac 34, \frac 12)\,$ lidt tættere på $\,(1,1\,)$ hvori det også er relativt bekvemt at udvikle fra. Så måske burde man hellere bruge $\,(1,1\,)$ som udviklingspunkt? Hvilken forskel gør det?

C

Bestem de approksimerende polynomier af anden grad, $\,P_2(x,y)\,$ og $\,Q_2(x,y)\,$ for $\,f\,$ med udviklingspunkterne hhv. $\,(0,0)\,$ og $\,(1,1)\,.$ Bestem værdierne af dem i punktet $\,(\frac 34, \frac 12)\,$ og sammenlign med en computerværdi af $\,f(\frac 34, \frac 12)\,.$

Opg 3: Anvendelse af approksimerende polynomium

En funktion $\,f:\reel^2 \rightarrow\reel\,$ er givet ved

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\,.$$
A

Bestem det approksimerende polynomium $\,P_2(x,y)\,$ af anden grad for $\,f\,$ i udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)=(3,4)\,.$

I det følgende spørgsmål skal vi illustrere den fejl, vi får hvis vi anvender det approksimerende 2. gradspolynomium i stedet for den eksakte værdi.

B

Bestem ved hjælp af resultatet i første spørgsmål længden af diagonalen i et rektangel med sidelængerne 2.9 og 4.2 (brug gerne Maple til udregningen).

C

Sammenlign med en Maple–værdi af diagonallængden.

D

Er forskellen signifikant?

Opg 4: Et egentligt lokalt maximum

Givet funktionen

$$f(x,y)=x^3-3x^2+y^3-3y^2\,,\quad (x,y)\in\reel^2.$$
A

Lav for punktmængden

$$\,\left\{(x,y)\in\reel^2\,|\,-2\leq x \leq2\,,\,\,-2\leq y \leq2\right\}\,$$

illustrationer med Maple hvor du først ser grafen for $\,f\,$ alene, dernæst sammen med grafen for dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet $\,(0,0)\,.$

B

Det ser ud som grafen for $\,f\,$ må have vandret tangentplan i røringspunktet

$$\,R=(0,0,f(0,0))=(0,0,0)\,.$$

Eftervis dette ved at bestemme en normalvektor for tangentplanen i $\,R\,.$ Og gør rede for at punktet $\,(x,y)=(0,0)\,$ er et stationært punkt.

C

Faktisk ser det også ud som om $\,f\,$ har et egentligt lokalt maximum i punktet $\,(0,0)\,$ med værdien

$$\,f(0,0)=0\,.$$

Det vil sige at $\,f(x,y)\,$ skal være negativ når $\,(x,y)\,$ er tilstrækkelig tæt på $\,(0,0)\,.$ Vis ved hjælp af Taylors grænseformel af grad 2 for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(0,0)\,$ at dette er rigtigt.

D

Advanced: Lav en tilsvarende undersøgelse af $\,f\,$ i og omkring punktet $\,(x,y)=(2,2)\,.$

Opg 5: Diagonalisering og reduktion af kvadratisk form

Givet den symmetriske matrix

$$ \mA=\begin{matr}{rrr} -2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 1 & -1 & -2 \end{matr}. $$
E

Angiv en positiv ortogonal matrix $\,\mathbf{Q}\,$ og en diagonalmatrix $\,\mathbf{\Lambda}\,$, således at

$$\,\mathbf{Q}^{\transp}\cdot\mA\cdot\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda}\,.$$

Betragt følgende andengradspolynomium i tre variable:

$$ f(x,y,z)=-2x^2-2y^2-2z^2+2xy+2xz-2yz+2x+y+z+5\,.$$

Bemærk at $\,f\,$ kan deles op i to led, det første en kvadratisk form, lad os kalde den $\,k\,,$ og det andet led et førstegradspolynomium.

F

Bestem forskriften $\,k(x,y,z)\,,$ omform den til matrixform, og reducér den.

G

Find en sædvanligt orienteret ortonormal basis for $\,\Bbb R^3\,$ hvori forskriften for $\,f\,$ er uden blandede led. Bestem forskriften.

Opg 6: Drilleopgave

En funktion $f\in C^{\infty}(\reel^2)$ opfylder ligningerne

$$f(x,0)=\e^x\quad\mathrm{og}\quad f'_y(x,y)=2y\cdot f(x,y)\,.$$
A

Find det approksimerende polynomium af anden grad for funktionen $\,f\,$ med $\,(x_0,y_0)=(0,0)\,$ som udviklingspunkt.