Bestem samtlige ekstrema for funktionen $f (x,y) = x^2y+y.$
hint
Eventuelle ekstremumspunkter kan kun findes i funktionens stationære punkter.
answer
Funktionen har ingen stationære punkter. Derfor ingen ekstrema.
Opg 2: Anvendelse af Hessematrix
Denne opgave løses ved håndregning.
A
Gør rede for at funktionen $\,f (x,y) = x^2+4y^2-2x-4y\,$ har netop ét ekstremum, bestem ekstremumspunktet og ekstremumsværdien.
hint
Eventuelle ekstremumspunkter kan kun findes i funktionens stationære punkter.
hint
Bestem Hessematricen og den egenværdier? Hvilken betydning har egenværdierne? Tjek evt. Hjælpesætning 21.17 i eNote 21.
answer
Funktionen har ét stationært punkt, nemlig $(x,y)=(1,\frac{1}{2})$. Hessematricen er konstant og har overalt (og derfor også i dette punkt) positive egenværdier, så der er lokalt minimum i punkt. Minimumværdien er $f(1,\frac 12)=-2\,$.
B
Hvad er forskellen mellem et ekstremum og et egentligt ekstremum? Er det fundne ekstremum et egentligt ekstremum?
answer
Svaret på sidste spørgsmål er ja, se Hjælpesætning 21.17 i eNote 21..
%####### begin:question
%Vis ved kvadratkomplettering at niveaukurven for $f$ svarende til $f(x,y)=1$ er en ellipse. Angiv ellipsens centrum og halvakser.
%####### end:question
%####### begin:question
%Vis at $f$ kan omskrives til en ligning på formen
%
$$z-c_1=(x-c_2)^2
%####### end:question
### **Opg 3: *Lokale ekstrema for funktion af to variable***
Givet funktionen f:\reel^2\rightarrow\reel med forskriften $$
f(x,y)=x^3+2y^3+3xy^2-3x^2.
$$
C
Vis at punkterne \,A=(2,0)\,, B=(1,-1)\, og \,C=(0,0)\, er stationære punkter for \,f\, og afgør for hvert af dem om de er et lokalt maksimumspunkt eller lokalt minimumspunkt. Angiv i givet fald den lokale maksimumsværdi/minimumsværdi, og afgør om den er egentlig.
hint
For A og B kan sagen afgøres vha. egenværdierne for Hessematricen i punkterne. C kræver yderligere undersøgelse, man kan f.eks. lave fortegnsundersøgelse af f på linjen x=0\,.
hint
Nærmere bestemt: Hvad sker der med \,f(0,y)=4y^3\, når \,y=0\, passeres? Og hvad siger det om muligheden for ekstremum?
answer
Der er egentligt minimum i punktet \,A\, med minimumsværdien \,f(2,0)=-4\,. Der ikke ekstremum i \,B\, og \,C\,.
D
Vis at det approksimerende andengradspolynomium for \,f\, med udviklingspunktet \,A\, kan skrives som en ligning i de ubekendte \,x,y\, og \,\,z på denne form:
$$</div>
z-c_3=\frac 12\,\lambda_1(x-c_1)^2+\frac 12\,\lambda_2(y-c_2)^2.
$$
Hvilken keglesnitsflade beskriver denne ligning, og hvad angiver konstanterne?
hint
Få nu ligningen på formen
$$</div>
z-c_3=\frac{(x-c_1)^2}{a^2}+\frac{(y-c_2)^2}{b^2}.
$$
og tjek navnetabellen i afsnit 22.3\, i eNote 22. Besøg evt. også:
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadric#Euclidean_space
answer
\lambda_1 og \lambda_2 er egenværdierne for matricen \frac 12\,\mathbf H\,.
Ligningen beskriver en opadvendt elliptisk parabloide med toppunkt \,T=(c_1,c_2,c_3)=(2,0,-4)\,. NB: De to første koordinater i \,T\, angiver \,A\,, mens det sidste er minimumsværdien for \,f\, i \,A\,.
E
Tegn grafen for f sammen med grafen for de approksimerende andengradspolynomier for f med udviklingspunkterne A\,, B og C\,. Diskutér om man ud fra egenværdierne for Hessematricerne i de tre punkter kan afgøre hvilken keglesnitsfladetype andengradspolynomierne beskriver.
### **Opg 4: *Globalt maksimum og globalt minimum***
En funktion med med definitionsmængden \reel ^2 er givet ved
$$
f(x,y)=xy(2-x-y)+1
$$
Lad \,M\, betegne det område i \,(x,y)-planen hvor \,x\in\left[ 0,1\right], og y\in\left[ 0,1\right]\,.
A
Find ved håndregning samtlige stationære punkter for \,f\, på \,M\,.
answer
På \,M\, findes ét stationært punkt, nemlig \,(\frac 23,\,\frac 23)\,.
B
Bestem det globale maksimum og minimum for \,f\, på \,M\, samt de punkter hvori disse værdier antages.
hint
Kan vi overhovedet vide, at \,f\, har globalt maksimum og globalt minimum på \,M\,?
hint
Se Hovedsætning 21.10 i eNote 21.
hint
De globale ekstrema findes i undtagelsespunkter, i funktionens stationære punkter eller langs randen af M, se videre i Metode 21.13.
hint
Randundersøgelsen gennemføres nemmest ved at betragte restriktionen af f til de relevante dele af linjestykkerne (x,0), (0,y), (x,1) og (1,y).
hint
Når du har fundet stationære punkter og lokale ekstrema langs restriktionerne, skal du udregne funktionsværdierne i alle disse punkter samt i linjestykkernes endepunkterne: (0,0), (1,0), (0,1) og (1,1). Det punkt, der har den største funktionsværdi er globalt maksimum og det punkt, der har den mindste værdi er globalt minimum.
answer
Global maksimumværdi = \,\frac{35}{27}\, som antages i \,\frac 23,\,\frac 23)\,.
Global minumiumværdi = 1 antages på hele linjestykket \,(x,0\,) for \,0\leq x \leq 1\,, på hele linjestykket \,(0,y)\, for \,0\leq y \leq 1\, og i punktet \,(x,y)=(1,1)\,.
C
Bestem værdimængden af \,f\, på \,M\,.
D
Plot grafen for f sammen med punkter der viser hvor på grafen største- og mindsteværdien antages, og tjek at dine resultater ser fornuftige ud.
### **Opg 5: *Globalt maksimum og globalt minimum***
Betragt funktionen f:\reel^2\rightarrow\reel givet ved
$$
f(x,y)=x^2-3y^2-3xy
$$
samt mængden \,M=\left\{\,(x,y)\,|\,x^2+y^2\leq 1\,\right\}\,.
A
Gør rede for, at \,f\, har både et globalt maksimum og et globalt minimum på \,M\, og bestem disse værdier samt de punkter hvori de antages.
hint
Se Hovedsætning 21.10 og Metode 21.13 i eNote 21
hint
Kandidaterne til største- og mindsteværdi udgøres af funktionens stationære punkter samt de lokale ekstrema langs randen af \,M\,.
hint
Det eneste stationære punkt for \,f\, i definitionsmængden er \,(0,0\,). Herefter skal vi undersøge restriktionen af \,f\, til randen af \,M\,.
hint
Randen af \,M\, kan paramteriseres ved \,(x,y)=(\cos (t),\sin(t))\, hvor \,t\in\left[ 0;2\pi\right]\, .
hint
Restriktionen af \,f\, til randen af \,M\, er da \,g(t)=f(\cos (t), \sin( t))\, hvor \,t\in\left[ 0;2\pi\right]\,. Plot grafen for \,g’(t)\,, og bestem dens nulpunkter.
hint
Kandidaterne til globalt maksimum og minimum udgøres af \,(0,0)\,, de punkter der svarer til løsningen på \,g’(t)=0\, og værdien af \,g\, i randkurvens endepunkter (faktisk er der kun ét endepunkt, hvorfor?). Udregn funktionsværdierne for \,f\, i disse punkter. Den største funktionsværdi er funktionens globale maksimum på \,M\,, og den mindste værdi er funktionens globale minimum på \,M\,.
answer
Globalt minimum = -\frac{7}{2} antages i (\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10}) og (-\frac{\sqrt{10}}{10},-\frac{3\sqrt{10}}{10}).
Globalt maksimum = \frac{3}{2} antages i (\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{-\sqrt{10}}{10}) og (\frac{-3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}).
### **Opg 6: *Globale ekstrema for funktion af tre variable***
Vi betragter funktionen f:\reel^3\rightarrow \reel givet ved
$$
Vis at \,f\, i det indre af \,\mathcal K\, kun har ét stationært punkt, nemlig \,O=(0,0,0)\,, og undersøg om \,f\, har esktremum i \,O\,.
B
Bestem den globale maksimumsværdi og den globale minimumsværdi af \,f\, på \,\mathcal K\, og de punkter hvori værdierne antages.
answer
Globalt max = 1 antages i (0,1,0) og (0,-1,0)\,.
Globalt min = -1 antages på cirklen \left{(x,y,z)\,|\,y=0\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,x^2+z^2=1\right}\,.
C
Bestem værdimængden af \,f\, på \,\mathcal K\,.
### **Opg 7: *Supplerende opgave***
Givet funktionen f:\reel^2\rightarrow\reel med forskriften $$
f(x,y)=\exp(x^2+y^2)-4xy\,
$$
A
Find samtlige stationære punkter for \,f\,.
answer
De 3 stationære punkter er $$</div>
(0,0) \, , \, (\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}) \, , \, (-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}})
$$
B
Find samtlige ekstrema.
answer
Der er egentligt minimum i punkterne \,(\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,) \, og \, (-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\, med minimumsværdien \,2-2 \ln 2\,.
C
Afgør om funktionen \,f\, har et globalt maksimum eller minimum, og angiv værdierne for disse hvis de eksisterer.
answer
Der er intet globalt maksimum. Globalt minimum antages i punkterne (\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\, og \,(-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}},-\sqrt{\frac{1}{2} \ln{2}}\,)\, med værdien \,2-2 \ln 2\,.
