FU04S-OPG

Opg 1: Stamfunktioner til udenadslære

For hvilke af de følgende funktioner kan du straks angive en stamfunktion?

$x^n\,,\,\,n\in \mathbb N\,.$
$\frac{1}{x}\,.$
$\ln(x)\,.$
$\frac{1}{1+x^2}\,.$
$\cos(x)\,.$
$\sin(x)\,.$
$\exp(x)\,.$

Hvor du måtte melde pas: Find en stamfunktion med Maples int og indskriv venligst resultatet i din langtidshukommelse.

Opg 2: Syv stamfunktioner du bør beherske

Angiv en stamfunktion til hver af de følgende funktioner:

$x^n\,$ hvor $n$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Z\,.$
$x^k\,$ hvor $k$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Q\,.$
$\frac{1}{a\cdot x+b}\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,,$ og $x$ i passende interval.
$\cos(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,.$
$\sin(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\reel\,.$
$\exp(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb R\,.$
$\exp(a\cdot x+b)\,$ hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb C\,.$

Opg 3: Regneregler for stamfunktioner

Udregn find det ubestemte integral

$$\int \left( 5\cos(x+1)-\sin(5x)+\frac{2}{x-3}-7\right)\mathrm dx\,,\,\,x>3$$

og gør rede for de regneregler du har brugt undervejs.

Opg 4: Talfølger

Intro: I denne og den følgende opgave gives der smagsprøver på en vigtig byggesten for integralregning: Talfølger og deres eventuelle konvergens. Fra Den Store Danske (Gyldendal):

``konvergens, begreb af fundamental betydning i matematisk analyse, specielt i teorien for uendelige rækker. En følge af reelle tal $x_1,x_2,\ldots$ kaldes konvergent, hvis der findes et tal $x$, så tallet $x_n$ er vilkårligt tæt på $x$, blot $n$ er tilstrækkelig stor $(\ldots)$. Tallet $x$ kaldes grænseværdien for følgen, som siges at konvergere mod $x\,.$ Hvis følgen ikke er konvergent, kaldes den divergent.’’

Fire talfølger $\,\left{a_n\right}\,,$ $\,\left{b_n\right}\,,$ $\,\left{c_n\right}\,$ og $\,\left{d_n\right}\,$ er for $n\in \mathbb N$ givet ved

$$a_n=\frac 1n\,,\,\,b_n=\frac{n-1}{2n}\,,\,\,c_n=\frac{n}{1000}\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,d_n=\frac{4n^2+16}{8-3n^2}\,.$$

Afgør hvilke af de fire talfølger der er konvergente, og angiv (uden udregninger) grænseværdien for dem som er konvergente.

Opg 5: Integraler via venstresummer

Opstil en venstresum $\,V_n\,$ for funktionen

$$\,f(x)=x\,,\,\,x\in \left[\,0\,,\,1\,\right]$$

svarende til en opdeling af intervallet [$0\,,\,1$] i $\,n\,$ lige store stykker. Bestem ved hjælp heraf

$$\,\displaystyle{\int_0^1 x\,\mathrm{d}x}\,.$$

Samme spørgsmål som det første, men nu med funktionen

$$\,f(x)=3x+1\,,\,\,x\in \left[\,0\,,\,1\,\right]\,.$$

Opg 6: Fundamentalsætningen. Håndregning

Bestem integralet

$$\int_0^1\,\frac{1}{1+u^2}\,\mathrm du\,.$$

Bestem dobbeltintegralerne

$$\int_1^2\,\Big (\int_0^1\,\frac{\e^{2u}}{v}\,\mathrm du\Big)\mathrm dv\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\, \int_0^{\frac{\pi}{2}}\,\Big (\int_0^1\,v\cos(uv)\,\mathrm du\Big)\mathrm dv.$$

Bestem trippelintegralet

$$\int_0^1\Big(\int_0^1\Big(\int_0^1 24\,x^3\,y^2\,z\,\mathrm dx\Big)\mathrm dy\Big)\mathrm dz\,.$$

Opg 7: En kurves tangentvektor og længde

Betragt i $(x,y)$-planen parameterkurven

$$\mathbf r(u)=(2\,u^2,u^3)\,,\,\,u\in \left[\,0,2\,\right]\,.$$

Bestem tangentvektoren for $\mathbf r(u)$ i punktet $(2,1)\,$ og tangentvektorens længde. Plot kurven sammen med tangentvektoren.

Hvor lang er den del af kurven som svarer til $u\in \left[\,0,1\,\right]\,$ og den del som svarer til $u\in \left[\,1,2\,\right]\,?$

Opg 8: Parametrisering og kurveintegral

Håndregning:

I $(x,y,z)$-rummet betragtes cirklen C givet ved

$$C=\left\{(x,y,z)\in \reel^3\,|\,\,x^2+(y-1)^2=4\,,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,z=1\right\}\,.$$

Angiv centrum og radius for C. Vælg en parameterfremstilling $\,\mathbf r(u)\,$ for C svarende til ét gennemløb af cirklen. Bestem den til parameterfremstillingen svarende Jacobi-funktion.

Givet funktionen $\,f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\,.$ Bestem restriktionen $\,f(\mathbf r(u))\,,$ og bestem kurveintegralet

$$\,\int_C\,f\,\mathrm d\mu\,.$$

Er kurveintegralet afhængigt af den parameterfremstilling du valgte for cirklen? Afprøv andre parameterfremstillinger og udregn kruveintegralet baseret på dem. Du kan f.eks. ændre omløbsretningen eller gennemløbshastigheden.

Er kurveintegralet afhængigt af cirklens beliggenhed? Prøv f.eks. at parallelforskyde cirklen 1 i $y$-aksens retning, og udregn kurveintegralet på ny.

Opg 9: Buelængde vha. midtpunktsum

I eNote 23 er der overalt benyttet venstresummer, idet de indgående funktionsværdier er taget i intervallernes venstre endepunkt. Men det er også muligt at benytte intervallernes midtpunkter, når man opstiller summen, hvorved man opnår en såkaldt midtpunktssum. Dette udnytter vi i denne opgave hvor vi skal beregne længden af parabelbuestykket

$$\left\{(u,v)\,|\,v=u^2\,,\,u\in\left[\,0;1\,\right]\right\}\,.$$

Antag at intervallet $\left[\,0;1\,\right]$ er inddelt i $n$ lige store stykker af længden $\delta u$, og lad delepunkterne være benævnt $u_i$ som i eNote 23. Forbind de parabelpunkter som ligger lodret over delepunkterne med rette linjestykker: parabelkorder. Så vil summen af korderne være en god tilnærmelse til buelængden. Vis at summen af kordestykkerne kan udtrykkes ved

$$\sum_{i=1}^{i=n} \sqrt{1+(2u_i+\delta u)^2}\,\,\delta u\,.$$

Gør rede for at den opnåede sum er en midtpunktssum for funktionen

$$f(u)=\sqrt{1+4\,u^2}\,,$$

og bestem derefter den ønskede parabelbuelængde ved hjælp af Maple.