Bestem den Jacobi-funktion, som svarer til denne parametrisering.
answer
Jacobi$_\mathbf r(u,v)=1-u\,$.
E
Bestem nu det ønskede integral.% Du kan evt. anvende Maple til at finde stamfunktionerne.
hint
Du skal indsætte parametriseringens første- og andenkoordinat i funktionen $\,2xy\,,$ gange med Jacobifunktionen, og derefter integrere, først med hensyn til $u$ og dernæst $v\,.$
$\jac r {u,v}$ er længden af denne vektor, det bliver i dette tilfælde en konstant.
answer
$\jac r{u,v}=2.$
hint
For at finde integranden, mangler du nu kun at indsætte parametriseringens første-, anden- og tredjekoordinat i funktionen $\,xyz\,$ og gange med Jacobifunktionen.
answer
$$\int_Gxyz\,d\mu=\frac{8\sqrt 3}{3}.$$
Opg 4: Omdrejningsflade, parametrisering og intergral
Intro: En omdrejningsflade $F$ fremkommer ved at en profilkurve som er givet i $(x,z)$-planen, drejes omkring $z$-aksen.
Et parabelstykke $K$ i $(x,z)$-planen er givet ved ligningen
$$z=\frac{x^2}4\,\,,\,\,x\in [\,0\,,\,2\,]\,.$$
A
Gør rede for at $K$ betragtet som rumkurve kan beskrives ved parameterfremstillingen
Andenkoordinaten 0 står blot for at $y=0\,$ idet kurven ligger i $(x,z)$-planen.
En omdrejningsflade $F$ fremkommer ved at profilkurven $K$ drejes $2\pi$ omkring $z$-aksen.
B
Gør nøje rede for at $F$ kan beskrives ved parameterfremstillingen
\begin{align}
\mr(u,v)&=\big(\,g(u)\cos(v),g(u)\sin(v),h(u)\,\big)\
&=\big(\,u\cos(v),u\sin(v),\frac{u^2}{4}\,\big)\,,\,\,u\in[\,0,2\,]\,\,,v\in[\,0,2\pi\,]\,.
\end{align}
hint
Se formellinje (23.30) i eNote 23, afsnit 23.1.2. Eller indse helt fra bunden at
parameterfremstillingen fremkommer ved at basisskiftematricen
betragter vi de to følgende grafflader:
\begin{align}
F&=\lbrace(x,y,z)\,\vert\,x\in \left[\,0\,,\,1\,\right]\,, y\in \left[\,0\,,\,2\,\right] \,\,\mathrm{og}\,\, z=h(x,y)\,\rbrace\,,\
G&=\lbrace(x,y,z)\,\vert\, x^2+y^2\leq 2\,\,\mathrm{og}\,\, z=h(x,y)\,\rbrace\,.
\end{align}
Bemærk at $\,F\,$ er et akseparallelt rektangel i $(x,y)$-planen. Plot evt. fladen med implicitplot3d og drej den så du ser den ‘‘fra oven’’. Bestem en parameterfremstilling for $\,F\,,$ find dens tilhørende Jacobi-funktion og udregn fladeintegralet.
hint
Integranden bliver nemmere end man umiddelbart skulle tro, fordi parameterfremstillingen indsat i funktion bliver det samme som Jacobi-funktionen: kvardratroden forsvinder!
Denne gang er området i $(x,y)$-planen ikke et akseparallelt rektangel. Bestem først en parameterfremstilling for området $\,x^2+y^2\leq 2\,$ i $\,(x,y)$-planen, og dernæst en paramterfremstilling for $\,G\,.$
hint
Området i $(x,y)$-planen er en cirkelskive. Den kan parametriseres ved
