Div$(\mathbf V(x,y,z)\,)=2$$ $ og $ $$\mathbf{Rot}(\mathbf V(x,y,z)\,)=(1,-1,2)\,.$
Opg 3: Eksplosion, implosion og rotation
I i $(x,y,z)$-rummet er der givet vektorfelterne
\begin{align}
\mathbf U(x,y,z)&=(x,y,z)\,,\
\mathbf V(x,y,z)&=(-y,x,1)\,,\
\mathbf W(x,y,z)&=(-x,-y,-z)\,.
\end{align}
A
Bestem divergensen og rotationen for de tre vektorfelter.
answer
Div$(\mathbf U(x,y,z)\,)=3$$ $ og $ $ Rot$(\mathbf U(x,y,z)\,)=(0,0,0)$
Div$(\mathbf V(x,y,z)\,)=0$$ $ og $ $ Rot$(\mathbf V(x,y,z)\,)=(0,0,2)$
Div$(\mathbf W(x,y,z)\,)=-3$$ $ og $ $ Rot$(\mathbf W(x,y,z)\,)=(0,0,0)$
B
Afgør i forlængelse af dit svar på spørgsmål b) hvilke af vektorfelterne $\,\mU\,,\,\mV\,$ og $\,\mW\,$ der er gradientvektorfelter.
hint
Se sætning 27.14 i eNote 27 (et gradientfelt er rotationsfrit!)
answer
$\,\mU\,$ og $\,\mW\,$ er gradientvektorfelter, mens $\,\mV\,$ ikke er.
Opg 4: Tangentielle kurveintegraler i gradientvektorfelter
Givet en funktion
$$\,f(x,y,z)=\cos (x\,y\,z)\,,$$
et vektorfelt
$$\mV(x,y,z)=\nabla(f(x,y,z))$$
samt en kurve $\,K\,$ som udgør den rette linje fra $\,(\pi,\frac{1}{2},0)\,$ til $\,(\frac{1}{2},\pi,-1)\,.$
A
Bestem det tangentielle kurveintegral
$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$
hint
Er det nødvendigt at udregne integralet?
hint
Det er kun nødvendigt at udregne et par funktionsværdier af $\,f\,$. Se sætning 27.10 i eNote 27.
Bestem det tangentielle kurveintegral af $\mV$ langs cirklerne idet cirklerne gennemløbes én omgang mod uret.
hint
Du får nok brug for en parameterfremstilling for hver af cirklerne.
hint
For $C_1$ kan du benytte $\mr(u)=(\cos(u),\sin(u))\,,\,\,u\in \left[0,2\pi\right]\,.$
For $C_2$ kan du benytte $\mr(u)=(\cos(u)+1,\sin(u)+1)\,,\,\,u\in \left[0,2\pi\right]\,.$
Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs cirklerne idet cirklerne gennemløbes én omgang med uret.
hint
Du får nok brug for en parameterfremstilling for hver af cirklerne.
hint
For $C_1$ kan du benytte $\mr(u)=(\cos(u),-\sin(u))\,,\,\,u\in \left[0,2\pi\right]\,.$
For $C_2$ kan du benytte $\mr(u)=(\cos(u)+1,-\sin(u)+1)\,,\,\,u\in \left[0,2\pi\right]\,.$
Ud fra resultatet på spørgsmål a) og b) : Er $\,\mV\,$ et gradientvektorfelt?
answer
Man skal holde tungen lige i munden her: Integralet langs en lukket kurve af et gradientvektorfelt er 0, men der kan jo sagtens forekomme et integral langs en lukket kurve af et vektorfelt er 0, selvom vektorfeltet ikke er et gradientvektorfelt. Her er $\,\mV\,$ ikke et gradientvektorfelt, da integralet langs $\,C_2\,$ er forskelligt fra 0.
Opg 6: Studium af divergens (advanced)
I denne opgave vil vi i et simpelt eksempel (med et førstegradsvektorfelt og konstant divergens), verificere følgende påstand: Divergensen angiver den lokale ‘‘udvidelsestendens’’ i vektorrummet. Følg blot de nedestående trin - hen ad vejen kommer du til at parametrisere et rumligt område i bevægelse og bestemme dets tidsafhængige volumen!
$$\mathcal A=\left\{(x,y,z)\,|\,-\frac 12\,\leq x \leq \frac 12\,\,,1\leq\,y\leq 2\,\,,-\frac 12\,\leq z \leq \frac 12\,\right\}\,.$$
A
Bestem (gerne vha. dsolve) flowkurven $\,\mr(t)\,$ for $\,\mathbf V\,$ svarende til den begyndelsesbetingelse, at $\,\mr(0)\,$ er et vilkårlig punkt i $\,\mathcal A\,.$
Lad $\,\mathcal A_t\,$ betegne det legeme som $\,\mathcal A\,$ er derformeret til til tiden $\,t\,$ når vi forestiller os at $\,\mathcal A\,$ flyder med vektorfeltet.
B
Find et udtryk for rumfanget Vol$(t)\,$ af $\,\mathcal A_t\,$ udtrykt som funktion af $\,t\,.$ Hvor stort er rumfanget til tiden $\,t=1\,.$ Bestem forholdet
