Bestem den til $\mathbf U$ hørende systemmatrix og find (gerne med Maple’s Eigenvectors) matricens egenværdier med tilhørende egenvektorer.
hint
Vektorfeltet skrives på matrixform $\,\displaystyle{\mU=\mA\,\begin{matr}{c}x\\y\end{matr}}\,$ hvor $\,\mA\,$ er systemmatricen.
B
Flowkurven $\,\mr_1(u)\,$ er bestemt ved at den går gennem punktet $\,(0,-1)\,$ til tiden $\,u=0\,,$ og flowkurven $\,\mr_2(u)\,$ ved at den går gennem $\,(0,\frac 12)\,$ til tiden $\,u=0\,$. Find ved hjælp af resultaterne fra spørgsmål a) og de angivne begyndelsesbetingelser en parameterfremstilling for $\,\mr_1(u)\,$ og $\,\mr_2(u)\,.$
Lav en Maple-illustration hvor $\,\mathbf V\,$ plottes sammen med $\,\mr(u)\,$ for $\,u\in [\,0,5\,\pi\,]\,.$
Betragt linjestykket $\,\mathcal \,L$ som går fra punktet $\,(1,1,1)\,$ til punktet $\,(2,2,2)\,.$
D
Bestem en parameterfremstilling for $\,\mathcal L\,.$
E
Bestem (gerne vha. dsolve) flowkurven $\,\mr(u)\,$ for $\,\mathbf V\,$ svarende til den begyndelsesbetingelse, at $\,\mr(0)\,$ er et vilkårlig punkt på $\,\mathcal L\,$.
F
Bestem en parameterfremstilling for den flade $\,\mathcal F\,$ som $\,\mathcal L\,$ gennemløber i rummet, når vi forestiller os at $\,\mathcal L\,$ flyder med vektorfeltet i tiden $\,u\in [\,0,5\,\pi\,]\,,$ og plot $\,\mathcal F\,$ sammen med vektorfeltet.
answer
Hvis parameterfremstilling for $\,\mathcal L\,$ er valgt som $\,(1+v,1+v,1+v)\,$ for $\,v\in \left[0,1\right]\,,$ kan følgende bruges med $\,u\,$ og $\,v\,$ i de nævnte intervaller:
Bestem ved håndregning (hovedregning ?) gradienten af $\,f\,.$
B
Find en parameterfremstilling for niveaufladen$\,\mathcal K_0\,$ svarende til $\,f(x,y,z)=0\,.$
hint
Ligningen for $\,\mathcal K_0\,$ er $\,(x-1)^2+2\,(y-1)^2+(z-1)^2=4\,.$ Det er en ellipsoide, find dens tre halvakser. Så er det nemt at angive dens parameterfremstilling, se fx afsnit 22.4 i eNote 22. Husk dens centrum er $\,(1,1,1)\,.$
Gradienten af $\,f\,$ kan opfattes som et gradientvektorfelt i rummet. Lav en Maple-illustration der både indeholder et plot af niveaufladen $\,\mathcal K_0\,$ og et plot af gradientvektorfeltet (brug fieldplot3d).
D
Vis at gradienten for $\,f\,$ i ethvert punkt $\,P\,$ på $\,\mathcal K_0\,$ står vinkeltret på $\,\mathcal K_0\,$ i $\,P\,$ (eller mere præcist: på tangentplanen for $\,\mathcal K_0\,$ i $\,P\,).$
E
Hvilken betydning har det velkendte slogan: ‘‘Gradienten peger i den retning hvor funktionen vokser mest’’ i denne sammenhæng?
Opg 4: Grublerier over gradienter
To vektorfelter i rummet er givet ved:
\begin{align}
\mathbf U(x,y,z)&=(xy\cos(z)\,,y^2+xz\,,3z)\,\
\mathbf V(x,y,z)&=(2x\mathrm{e}^{x^2},2\cos(y^2)\,y\,,3)\,
\end{align}
A
Det påstås at det ene af vektorfelterne er et gradientvektorfelt, mens det andet ikke er det. Vis at denne påstand er korrekt!
hint
For et af vektorfelterne kan du måske direkte se/gætte hvilken funktion $\,f(x,y,z)\,$ som det er gradienten af? For det andet vektorfelt, se et tilsvarende eksempel fra planen: Eksempel 26.3 i eNote 26.
answer
$\mathbf U(x,y,z)$ er ikke et gradientfelt, men $\mathbf V(x,y,z)$ er et gradientfelt.
Opg 5: Tangentielle kurveintegraler. Håndregning
I $(x,y)$-planen er der givet et vektorfelt
$$\mV(x,y)=(x^2-2xy\,,\,y^2-2xy)$$
samt en kurve $\,K\,$ givet ved ligningen
$$y=x^2, \quad x\in\left[ -1,1\right]\,.$$
A
Bestem det tangentielle kurveintegral
$$\int_K\mV\cdot\me\, d\mu.$$
I $\,(x,y,z)$-rummet er der givet et vektorfeltvektorfelt
I planen betragtes et vilkårligt punkt $\,P=(x,y)\,$ og vektorfeltet
$$\,\mV(x,y)=(xy,x)\,.$$
C
Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs den rette linje fra Origo til $\,P\,.$
answer
$\displaystyle{\int_K \mV\cdot \mathbf e \mathrm d\mu
=\frac{1}{3}x^2y+\frac{1}{2}yx}$
Ved trappelinjen fra Origo til $\,P\,$ forstås den stykkevis rette linje der går fra Origo til punktet $\,(x,0)\,$ og derefter fra $\,(x,0)\,$ til $\,(x,y)\,.$
D
På et stykke papir med $\,(x,y)$-koordinatsystem: Skitsér trappelinjen for forskellige valg af $\,P\,.$ Bestem derefter det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs trappelinjen fra Origo til vilkårligt $\,P\,.$
hint
Om trappemetoden: Se 3d-versionen i MapleDemoen F10a$_$TangKurveIntegral.
Afgør ud fra dine svar på spørgsmål a) og b) om $\,\mV\,$ et gradientvektorfelt.
answer
Svaret er nej, fordi $\ldots$
Opg 7: Stamfunktioner
I rummet betragtes et vilkårligt punkt $\,P=(x,y,z)\,$ og vektorfeltet
$$\,\mV(x,y,z)=(y\cos (xy),z+x\cos (xy),y)\,.$$
Ved trappelinjen fra Origo til $\,P\,$ forstås den stykkevis rette linje der går fra Origo til punktet $\,(x,0,0)\,,$ derefter fra $\,(x,0,0)\,$ til $\,(x,y,0)\,$ og til sidst fra $\,(x,y,0)\,$ til $\,(x,y,z)\,.$
A
Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mV\,$ langs trappelinjen fra Origo til $\,P\,.$
hint
Om trappemetoden: Se MapleDemoen F10a$_$TangKurveIntegral.
