Opg 1: Flux gennem en åben og en lukket flade. Håndregning
En funktion $\,h:\reel^2 \rightarrow \reel\,$ er givet ved forskriften
$$\,h(x,y)=1-x^3\,.$$
Vi betragter et rektangel i $(x,y)$-planen som er bestemt ved $\,0\leq x\leq 1\,$ og $\,-\frac{\pi}2\leq y\leq \frac{\pi}2\,.$ Lad fladen $\,\mathcal F\,$ være den del af grafen for $\,h\,$ som ligger lodret over rektanglet.
A
Bestem en parameterfremstilling for $\mathcal F\,.$
hint
$\mathcal F$ er en såkaldt grafflade.
answer
$\mathbf s(u,v)=(u,v,1-u^3)\,$ hvor $u\in \left[0,1\right]$ og $v\in \left[-\pi/2,\pi/2\right]\,.$
Lad nu $\Omega$ betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem rektanglet i $(x,y)$-planen og $\mathcal F\,.$
C
Bestem en parameterfremstilling for $\Omega\,.$
hint
Du kan sikkert genbruge den parameterfremstilling du lavede for $\mathcal F\,,$ skal bare pille lidt ved 3.koordinaten.
answer
$\mr(u,v,w)=(u,v,w(1-u^3))\,$ hvor $u\in \left[0,1\right]\,,$$v\in \left[-\pi/2,\pi/2\right]\,$ og $w\in \left[0,1\right]\,.$
D
Brug Gauss’ sætning til at bestemme fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen af $\Omega\,.$
hint
Faktisk består overfladen af $\Omega$ af 5 fladestykker. Det fine ved Gauss’s sætning er at vi kun behøver et integral, men det er et rumintegral. Hvilket?
hint
Du skal finde rumintegralet af divergensen af $\mV$ over $\Omega\,.$ Find integranden, som er
$$\textrm{Div}\mV(\mr(u,v,w))\mathrm{Jacobi}_{\mathbf r }(u,v,w)\,$$
og bestem trippelintegralet, evt. med Maple.
answer
Integranden er
$$\,u^6w-2u^3w+w+u^4\sin(v)-u\sin(v)\,$$
og facit er $\,\displaystyle{\frac{9}{28}}\,\pi\,.$
Opg 2: 12 fluxe i felter med konstant divergens
Et rumligt område $\Omega_1$ udgøres af en massiv enhedskugle med centrum i Origo, og et rumligt område $\Omega_2$ er givet ved parameterfremstillingen.
De to områders overflader $\partial \Omega_1$ og $\partial \Omega_2$ er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektor.
Der er endvidere givet vektorfelterne
\begin{align}
\mV_1(x,y,z)&=(1,2,3)\
\mV_2(x,y,z)&=(-x,\frac y2,-\frac z3)\
\mV_3(x,y,z)&=(x-yz,-2y+xz^2,3z+yx^3)\
\mV_4(x,y,z)&=(k_1,k_2,k_3)\
\mV_5(x,y,z)&=(y-x^3,3x^2y,25+10z)\
\mV_6(x,y,z)&=(2xz-2xy-z,z^3+y^2,-z^2)
\end{align}
Bestem rumfanget af $\Omega_1$ og $\Omega_2\,$ og derefter (ved hovedregning!) divergensen af hvert af de seks vektorfelter.
answer
Vol($\Omega_1$) er som bekendt $\frac43\pi\,$ mens Vol($\Omega_2$)=$\frac {\pi}2\,.$ Derefter følger det af Gauss’ sætning, at de ønskede fluxe fås ved multiplikation af rumfang med divergens.
Opg 3: Uden titel, men brug Gauss
Et parametriseret rumligt område $\Omega_{\mathbf r}$ i $(x,y,z)$-rummet har parameterfremstillingen
Lav kvadratkomplettering. Det er jo den sydlige halvdel af en kugleskal med centrum i $(0,0,2)$ og radius 2.
$F$ tænkes orienteres med enhedsnormalfelt med negativ $z$-koordinat. Vi ønsker at bestemme fluxen gennem $F,$ men det viser sig at være temmeligt besværligt at integrere over fladen $F\,,$ idet vektorfeltet er lidt kompliceret. På den anden side er det ikke svært at finde Div$(\mV)(x,y,z)\,,$ derfor vil vi tilpasse problemet, så det kan løses vha Gauss’ sætning. Vi begynder med at integrere divergensen af $\mV$ over den massive halvkugle $\Omega$ som udfylder $F$.
B
Beregn fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen $\partial \Omega$ af $\Omega$, idet du beregner fluxen som
Her får du selvfølgelig brug for den sædvanlige parameterfremstilling for en massiv kugle (husk centrum). Og dens Jacobi-funktion.
hint
$\mr(u,v,w)=(u\sin(v)\cos(w), u\sin(v)\sin(w), u\cos(v)+2)\,.$
Jacobi selvfølgelig $\,u^2\sin(v)\,.$
Opstil nu integranden, og brug gerne Maple til at udregne trippelintegralet.
Men hør, halvkuglefladen er jo åben på oversiden, men vi har udregnet fluxen gennem den lukkede flade!
C
Find en parameterfremstilling af den cirkelskive, der kan dække oversiden af halvkuglen.
Vi skal finde fluxen gennem kuglefladen uden cirkelskiven…
Vi har allerede fundet fluxen gennem den massive halvkugle.
answer
Fluxen gennem halvkuglefladen findes som fluxen gennem den massive halvkugle fratrukket fluxen gennem cirkelskiven.
Flux($\mV$,halvkugleflade)$=-\frac{64\pi}{15}\,.$
