\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Flux gennem parameterflader. Håndregning

Denne opgave løses ved håndregning.

Givet et vektorfelt

$$\mV(x,y,z)=(\cos(x),\cos(x)+\cos(z),0)$$

samt en flade $\mathcal F$, som er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v)=(u,0,v), \quad u\in\left[ 0,\pi\right] ,\, v\in\left[ 0,2\right] .$$
A

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor $\,\mathbf n_{\mathcal F}\,$ og beregn vektorfeltets flux gennem fladen.

B

Hvilken betydning har fluxens fortegn? Kan du skifte fortegnet for fluxen ved at ændre fladens parameterfremstilling?

Givet et vektorfelt

$$\mV(x,y,z)=(yz,-xz,x^2+y^2)$$

samt en flade $\,\mathcal F\,$, som er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v)=(u\sin(v),-u\cos( v),uv), \quad u\in\left[ 0,1\right] ,\, v\in\left[ 0,1\right] .$$
C

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor $\,\mathbf n_{\mathcal F}\,$ og beregn vektorfeltets flux gennem fladen.

Opg 2: Volumenekspansionsrate og flux. Maple

Denne opgave løses med Maple.

Betragt i $\,(x,y,z)$-rummet vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=\left(\frac x2\,, \frac y2\,,2z\,\right)\,.$$
A

Bestem den flowkurve $\,\mr(t)\,$ for $\,\mV\,$ som opfylder begyndelsværdibetingelsen $\,\mr(0)=(1,1,1)\,$.

Fladen $\,\mathcal S_0\,$ består af den del af enhedskuglefladen med centrum i Origo, som ligger på eller over planen med ligningen $\,\displaystyle{z=\frac 12\,.}$

B

Giv en parameterfremstilling for $\,\mathcal S_0\,$, og for den flade $\,\mathcal S_t\,$ som $\,\mathcal S_0\,$ er deformeret til, til tiden $\,t\,$, når den flyder med $\,\mV’s\,$ flowkurver. Plot $\,\mathcal S_0\,$ med Maple sammen med $\,\mathcal S_t\,$ for udvalgte værdier af $\,t\,$.

C

Gør rede for at $\,\mathcal S_0\,$ ikke har fælles punkter med $\,\mathcal S_t\,$ for $\,t>0\,.$

D

Bestem en parameterfremstilling for det rumlige område $\,\Omega_t\,$ som $\,\mathcal S_t\,$ har passeret siden den forlod $\,\mathcal S_0\,$ ved tiden $\,t=0\,,$ og bestem rumfanget Vol$(t)\,$ af $\,\Omega_t\,.$

E

Bestem Vol$’(t)\,$ og Vol$’(0)\,,$ og sammenlign resultat med fluxen af $\,\mV\,$ gennem $\,\mathcal S_0\,$. Hvorfor er der denne sammenhæng?

Opg 3: Optimering af flux. Maple

Denne opgave løses med Maple.

Der er givet vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=(xyz\,,x+y+z\,,\frac{z}2\,)\,.$$

samt planen $\,\alpha\,$ med ligningen $\,z+x=2\,.$

A

Bestem en parameterfremstilling for den del af $\,\alpha\,$ som ligger (lodret) over kvadratet udspændt af punkterne $\,(1,1,0),(-1,1,0),(-1,-1,0)\,$ og $\,(1,-1,0)\,$. Parameterfremstillingen ønskes valgt således at dens tilhørende normalvektor har positiv $\,z$-koordinat.

B

Bestem fluxen gennem den parameteriserede del af $\,\alpha\,.$

En flade $\mathcal F$ består af to dele: $\,\mathcal F_1$ som er den del af $\alpha$ som ligger (lodret) over den i $(x,y)$-planen liggende cirkelskive $x^2+y^2\leq 1\,.$ $\mathcal F_2$ som er den (lodrette) cylinderflade der er begrænset nedadtil af enhedscirklen $x^2+y^2=1$ i $(x,y)$-planen og opadtil af planen $\alpha\,.$

Cyl2.png

Åben flade bestående af to dele

C

Bestem en parameterfremstilling for $\,\mathcal F\,$, således at $\,z-$koordinaten for den til $\,\mathcal F_1\,$ hørende normalvektor har positiv $\,z$-koordinat og således at den til $\,\mathcal F_2\,$ normalvektor vender bort fra $\,z$-aksen.

D

Bestem fluxen af $\,\mV\,$ gennem $\,\mathcal F\,$.

$\mathcal F\,$ drejes nu vinklen $\,w\,$ omkring $\,z\,$-aksen mod uret set fra $\,z$-aksens positive ende.

E

Bestem en værdi af $\,w\,$ der giver maksimal flux, og en værdi der giver minimal flux. Angiv maksimumsværdien og minimumsværdien.

Opg 4: Flux vha Gauss’ sætning. Håndregning

Denne opgave løses ved håndregning.

Et rumligt område udgøres af terningen

$$\Omega=\left\{\,(x,y,z)\,|\,\,x \in\left[ 0,1\right],\,y\in \left[ 0,1\right],\,z\in \left[ 0,1\right]\,\right\}$$

udstyret med udadrettet enhedsnormalvektorfelt.

A

Bestem fluxen ud gennem $\Omega$’s overflade af vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=(2x-\sqrt{1+z^2}\,,\,x^2y\,,\,-xz^2)\,.$$

B

Bestem fluxen ud gennem $\Omega$’s overflade af vektorfeltet

$$\mW(x,y,z)=(2x-\sqrt[3]{y^2+z^2}\,,\,xz-\cos(y)\,,\,\sin(xy)+2z)\,.$$

C

Det oplyses at

$$\displaystyle{\int_0^1\int_0^1\int_0^1(x+y+z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\frac 32}\,.$$

Bestem et vektorfelt hvis flux ud gennem $\,\Omega$’s overflade er $\,\displaystyle{\frac 32}\,.$

Opg 5: Verificering af Gauss’ sætning

I denne opgave skal vi efterprøve Gauss’ sætning i et eksempel ved først at finde fluxen ved almindelig metode og derefter som et rumintegral af en divergens.

Givet vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=(-8x,8,4z^3)$$

og et rumligt område

$$\Omega=\lbrace (x,y,z)\,\vert\, x^2+y^2+z^2\leq a^2\,\, \mathrm{og}\,\, z\geq 0\rbrace\,,\,a>0\,,$$

hvis overflade $\,\partial \Omega\,$ er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektorfelt $\,\mathbf n_{\,\partial \Omega}\,.$

A

Bestem rumintegralet

$$\int_{\Omega}\mathrm{Div(\mV)}\,d\mu\,.$$

B

Bestem det ortogonale fladeintegral

$$\int_{\partial\,\Omega}\,\mV \mathbf{\cdot}\mathbf n_{\,\partial \Omega}\,d\mu\,.$$

C

For hvilke $\,a\,$ er Flux($\mV,\partial\,\Omega$), med det angivne enhedsnormalvektorfelt $\,\mathbf n_{\,\partial \Omega}\,$ positiv ( ‘‘udstrømningen gennem $\partial \Omega$ større end indstrømningen’’).

D

Hvilken karakteristisk lighed er der mellem Gauss’ sætning om relationen mellem divergensintegralet og det ortogonale fladeintegral på den ene side og den fra gymnasiet kendte identitet:

$$\left[ F(x)\right] _a^b=\int_a^b F'(x)dx\,?$$

Opg 6: Coulomb-vektorfeltet

Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt:

$$\mV(x,y,z)= \left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\,,\,\frac{y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\,,\,\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\right)\,.$$

En massiv omdrejningscylinder $\Omega$ er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v,w)=\left(u\cos(w)\,,\,u\sin(w)\,,\,v\right)\,,\,\,u\in\left[0,a\right] \,,\,\,v\in[-h,h]\,,\,\,w\in \left[-\pi\,,\,\pi\right]\,,$$

hvor $\,a\,$ og $\,h\,$ er positive reelle tal. Vi vil i det følgende udregne fluxen ud gennem overfladen af $\,\Omega\,$ på to forskellige måder. Følg bare skridtene nedenfor.

A

Tegn en skitse af $\,\Omega\,$ med papir og blyant og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som overfladen $\,\partial\Omega\,$ af $\,\Omega\,$ består af: Bunden, toppen og den rørformerede del.

B

Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som $\,\partial\Omega\,$ består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for $\,a\,$ og $\,h\,$ gående mod 0?

C

Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved hjælp af Gauss’ sætning. Brug gerne Maple til divergensen af $\,\mV\,.$

D

Måske finder du ud af at noget er rivravruskende galt! Hvad er mon problemet?