\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

Opg 1: Volumenekspansionsrate og flux. Maple

Denne opgave løses med Maple.

Betragt i $\,(x,y,z)$-rummet vektorfeltet

$$\mV(x,y,z)=\left(\frac x2\,, \frac y2\,,2z\,\right)\,.$$
A

Bestem den flowkurve $\,\mr(t)\,$ for $\,\mV\,$ som opfylder begyndelsværdibetingelsen $\,\mr(0)=(1,1,1)\,$.

Fladen $\,\mathcal S_0\,$ består af den del af enhedskuglefladen med centrum i Origo, som ligger på eller over planen med ligningen $\,\displaystyle{z=\frac 12\,.}$

B

Giv en parameterfremstilling for $\,\mathcal S_0\,$, og for den flade $\,\mathcal S_t\,$ som $\,\mathcal S_0\,$ er deformeret til, til tiden $\,t\,$, når den flyder med $\,\mV’s\,$ flowkurver. Plot $\,\mathcal S_0\,$ med Maple sammen med $\,\mathcal S_t\,$ for udvalgte værdier af $\,t\,$.

C

Gør rede for at $\,\mathcal S_0\,$ ikke har fælles punkter med $\,\mathcal S_t\,$ for $\,t>0\,.$

D

Bestem en parameterfremstilling for det rumlige område $\,\Omega_t\,$ som $\,\mathcal S_t\,$ har passeret siden den forlod $\,\mathcal S_0\,$ ved tiden $\,t=0\,,$ og bestem rumfanget Vol$(t)\,$ af $\,\Omega_t\,.$

E

Bestem Vol$’(t)\,$ og Vol$’(0)\,,$ og sammenlign resultat med fluxen af $\,\mV\,$ gennem $\,\mathcal S_0\,$. Hvorfor er der denne sammenhæng?

Opg 2: Elementær Gauss-opgave

Givet et vektorfelt $\mV(x,y,z)=(2x,3y,-z)$ og et massivt rumligt område

$$\Omega=\left\{ (x,y,z)\,|\,\left( \frac{x}{a}\right) ^2+\left( \frac{y}{b}\right) ^2+\left( \frac{z}{c}\right) ^2\leq 1\right\}\,.$$
A

Bestem fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen $\partial \Omega$ af $\Omega\,.$

Opg 3: Coulomb-vektorfeltet og Gauss?

Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt:

$$\mV(x,y,z)= \left(\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\,,\,\frac{y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\,,\,\frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac32}}\right)\,.$$

En massiv omdrejningscylinder $\Omega$ er givet ved parameterfremstillingen

$$\mr(u,v,w)=\left(u\cos(w)\,,\,u\sin(w)\,,\,v\right)\,,\,\,u\in\left[0,a\right] \,,\,\,v\in[-h,h]\,,\,\,w\in \left[-\pi\,,\,\pi\right]\,$$

hvor $\,a\,$ og $\,h\,$ er positive reelle tal. Vi vil i det følgende udregne fluxen ud gennem overfladen af $\,\Omega\,$ på to forskellige måder. Følg bare skridtene nedenfor.

A

Tegn en skitse af $\,\Omega\,$ med papir og blyant og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som overfladen $\,\partial\Omega\,$ af $\,\Omega\,$ består af: Bunden, toppen og den rørformerede del.

B

Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som $\,\partial\Omega\,$ består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for $\,a\,$ og $\,h\,$ gående mod 0?

C

Bestem fluxen af $\,\mV\,$ ud gennem $\,\partial\Omega\,$ ved hjælp af Gauss’ sætning. Brug gerne Maple til divergensen af $\,\mV\,.$

D

Måske finder du ud af at noget er rivravruskende galt! Hvad er mon problemet?

Opg 4: Repetition med ortogonal substitution

Der er givet en symmetrisk matrix:

$$ \mathbf A= \begin{matr}{cc} \displaystyle{\frac{288}{25}}&\displaystyle{\frac{84}{25}}\\\\\\\\ \displaystyle{\frac{84}{25}}&\displaystyle{\frac{337}{25}} \end{matr}\,.$$
A

Find i $\,\mathbb R^{2\times 2}\,$ en positiv ortogonal matrix $\,\mathbf Q\,$ og en diagonalmatrix $\,\Lambda\,$ som opfylder

$$ \Lambda=\mathbf Q^{-1} \mathbf A\, \mathbf Q\,.$$

En ellipse $\,\mathcal E\,$ er i et sædvanligt retvinklet $\,(x, y)$-koordinatsystem i planen givet ved matrix-ligningen

$$ \begin{matr}{cc} x&y \end{matr} \,\mathbf A\, \begin{matr}{c} x \\\\ y \end{matr}=144\,.$$
B

Bestem halvakserne for $\,\mathcal E\,.$

Opg 5: Repetition med funktion af to variable

For en glat funktion $\,f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R\,$ med $\,f(0,0)=0\,$ er et vektorfelt $\,\mathbf V\,$ i $\,(x,y)$-planen givet ved

$$\mathbf V(x,y)=\nabla f(x,y)=(x-y^2+1,-2\,x\,y)\,.$$
A

Bestem samtlige stationære punkter for $\,f\,.$

B

Bestem Hessematricen for $\,f\,,$ og gør rede for at $\,f\,$ har netop ét egentligt lokalt minimum og ingen egentlige lokale maxima.

C

Bestem det tangentielle kurveintegral af $\,\mathbf V\,$ langs en selvvalgt kurve $\,\mathcal K\,$ fra origo til et vilkårligt punkt $\,(x,y)\,.$ Vink: Du kan bruge formlen

$$ (x,y)\cdot \int_0^1 \mathbf V(ux,uy)\,\mathrm{d}u\,. $$

Eller du kan integrere langs den trappelinje i $\,(x,y)$-planen der først går fra $\,( 0,0)\,$ til $\,( x,0)\,$ og dernæst fra $\,( x,0)\,$ til $\,( x,y)\,.$

D

Bestem den værdi som $\,f\,$ antager i det i spørgsmål N) omtalte egentlige lokale minimum.

Opg 6: Repetition med Gauss og Stokes

I $\,(x,y)$-planen i $\,(x,y,z)$-rummet er der givet punktmængden

$$\,A=\left\{\,(x,y)\,|\,0\leq x \leq2\,\,\mathrm{og} -\frac{\pi}{2}\leq y \leq\frac{\pi}{2}\,\right\}\,$$

og funktionen

$$h(x,y)=x\cos(y)\,.$$

Lad $\,\mathcal F\,$ betegne den del af grafen for $\,h\,$ som ligger lodret over $\,A,$ se figuren.

g_flade.png

A

Bestem en parameterfremstilling $\,\mathbf r(u,v)\,$ for $\,\mathcal F,$ og bestem den til $\,\mathbf r(u,v)\,$ hørende normalvektor

$$\mathbf N(u,v)=\mathbf r'_u(u,v) \times \mathbf r'_v(u,v)\,.$$

Om et vektorfelt $\,\mathbf V\,$ i $\,(x,y,z)$-rummet oplyses at

$$\,\mathrm{Div}(\mathbf V)(x,y,z)=x+y+z\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\mathbf{Rot}(\mathbf V)(x,y,z)=(3z,3x,3y)\,.$$
B

Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af $\,\mathbf V\,$ langs den lukkede randkurve $\,\partial \mathcal F\,$ for $\,\mathcal F\,$ med den på figuren viste orientering af $\,\partial \mathcal F\,$.

C

Lad $\, \Omega\,$ betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem $\,A\,$ og $\,\mathcal F\,.$ Bestem fluxen af $\,\mathbf V\,$ ud gennem den lukkede overflade $\,\partial \Omega\,$ af $\, \Omega\,.$