I denne opgave skal vi efterprøve Gauss’ sætning i et eksempel ved først at finde fluxen ved almindelig metode og derefter som et rumintegral af en divergens.
Bemærk, at overfladen af $\Omega$ består at to dele: En halvkugleskal og en cirkulær bundflade.
answer
Hvis Gauss har ret, fås samme facit i de to spørgsmål. Svaret er
$$8a^3\pi\,(\frac 15 a^2 - \frac 23)\,.$$
C
For hvilke $\,a\,$ er Flux($\mV,\partial\,\Omega$), med det angivne enhedsnormalvektorfelt $\,\mathbf n_{\,\partial \Omega}\,$ positiv ( ‘‘udstrømningen gennem $\partial \Omega$ større end indstrømningen’’).
answer
Fluxen er negativ for $\,0<a<\frac{\sqrt{30}}{3}\,$, ellers positiv.
D
Hvilken karakteristisk lighed er der mellem Gauss’ sætning om relationen mellem divergensintegralet og det ortogonale fladeintegral på den ene side og den fra gymnasiet kendte identitet:
$$\left[ F(x)\right] _a^b=\int_a^b F'(x)dx\,?$$
answer
Divergensen kan frit formuleret betragtes som den afledede af vektorfeltet. I begge tilfælde kan vi sige at vi har skubbet integrationen ‘‘ud på randen’’, dvs. på overfladen, henholdvis på intervallets endepunkter.
Opg 2: 12 fluxe i felter med konstant divergens
Et rumligt område $\Omega_1$ udgøres af en massiv enhedskugle med centrum i Origo, og et rumligt område $\Omega_2$ er givet ved parameterfremstillingen.
De to områders overflader $\partial \Omega_1$ og $\partial \Omega_2$ er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektor.
Der er endvidere givet vektorfelterne
\begin{align}
\mV_1(x,y,z)&=(1,2,3)\
\mV_2(x,y,z)&=(-x,\frac y2,-\frac z3)\
\mV_3(x,y,z)&=(x-yz,-2y+xz^2,3z+yx^3)\
\mV_4(x,y,z)&=(k_1,k_2,k_3)\
\mV_5(x,y,z)&=(y-x^3,3x^2y,25+10z)\
\mV_6(x,y,z)&=(2xz-2xy-z,z^3+y^2,-z^2)
\end{align}
Bestem rumfanget af $\Omega_1$ og $\Omega_2\,$ og derefter (ved hovedregning!) divergensen af hvert af de seks vektorfelter.
answer
Vol($\Omega_1$) er som bekendt $\frac43\pi\,$ mens Vol($\Omega_2$)=$\frac {\pi}2\,.$ Derefter følger det af Gauss’ sætning, at de ønskede fluxe fås ved multiplikation af rumfang med divergens.
Lav kvadratkomplettering. Det er jo den sydlige halvdel af en kugleskal med centrum i $(0,0,2)$ og radius 2.
$F$ tænkes orienteres med enhedsnormalfelt med negativ $z$-koordinat. Vi ønsker at bestemme fluxen gennem $F,$ men det viser sig at være temmeligt besværligt at integrere over fladen $F\,,$ idet vektorfeltet er lidt kompliceret. På den anden side er det ikke svært at finde Div$(\mV)(x,y,z)\,,$ derfor vil vi tilpasse problemet, så det kan løses vha Gauss’ sætning. Vi begynder med at integrere divergensen af $\mV$ over den massive halvkugle $\Omega$ som udfylder $F$.
B
Beregn fluxen af $\mV$ ud gennem overfladen $\partial \Omega$ af $\Omega$, idet du beregner fluxen som
Her får du selvfølgelig brug for den sædvanlige parameterfremstilling for en massiv kugle (husk centrum). Og dens Jacobi-funktion.
hint
$\mr(u,v,w)=(u\sin(v)\cos(w), u\sin(v)\sin(w), u\cos(v)+2)\,.$
Jacobi selvfølgelig $\,u^2\sin(v)\,.$
Opstil nu integranden, og brug gerne Maple til at udregne trippelintegralet.
Men hør, halvkuglefladen er jo åben på oversiden, men vi har udregnet fluxen gennem den lukkede flade!
C
Find en parameterfremstilling af den cirkelskive, der kan dække oversiden af halvkuglen.
Vi skal finde fluxen gennem kuglefladen uden cirkelskiven…
Vi har allerede fundet fluxen gennem den massive halvkugle.
answer
Fluxen gennem halvkuglefladen findes som fluxen gennem den massive halvkugle fratrukket fluxen gennem cirkelskiven.
Flux($\mV$,halvkugleflade)$=-\frac{64\pi}{15}\,.$
