\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Opvarmningsopgave

I denne opgave skal vi løse ligningssystemet:

\begin{align} x_1 - x_2 + 2x_3 &=1\
-2x_1 + 3x_2 - x_3&= 0\
x_1 + x_2 + 9x_3 &= 8 \end{align}

Følg gerne den nedenstående opskrift:

A

Opstil ligningssystemets totalmatrix og brug 1. række til at skaffe 0’er under diagonalen i 1. søjle ved at udføre rækkeoperationerne $\,R_2+2R_1\,$ og $\,R_3-R_1\,.$

B

Brug nu 2.række til at skaffe 0’er over og under diagonalen i 2. søjle med rækkeoperationrne $\,R_1+R_2\,$ og $\,R_3-2R_2\,.$

C

Brug til sidst 3.række til at skaffe 0’er over diagonalen i 3.søjle med rækkeoperationerne $\,R_1-5R_3\,$ og $\,R_2-3R_3\,.$

D

Tjek løsningen ved at indsætte de fundne værdier af $\,x_1, x_2\,$ og $\,x_3\,$ i ligningssystemet.

Opg 2: Lineære afbildninger og matricer

Intro: En lineær afbildning i planen kan repræsenteres af en $\,2\times 2\,$ matrix

$$\,\mathbf F=\begin{matr}{rr} a&b\\\\c&d\end{matr}\,.$$

Afbildningen fungerer på følgende måde. Der er givet en vektor $\,\mathbf x=(x_1,x_2)\,.$ Billedet af $\,\mathbf x\,$ er en vektor $\,\mathbf y=(y_1,y_2)\,$ som fremkommer ved matrix-vektor produktet af $\,\mathbf F\,$ og $\,\mathbf x\,.$ Der gælder med andre ord:

$$ \begin{matr}{r}y_1\\\\y_2\end{matr}= \begin{matr}{rr} a&b\\\\c&d\end{matr}\cdot\begin{matr}{r}x_1\\\\x_2\end{matr}\,.$$

Både vektor $\,\mathbf x\,$ og $\,\mathbf y\,$ tænkes afsat ud fra Origo.

Denne opgave indeholder nogle introducerende øvelser med Geogebra-filen LineaerAfbildning1, åbn den. Den givne vektor $\,\mathbf x\,$ er blå, og billedvektoren $\,\mathbf y\,$ er rød.

A

Placér de to ”styrepunkter” $\,S_1\,$ og $\,S_2\,$ så de får koordinaterne $\,S_1=(4,2)\,$ og $\,S_2=(1,3)\,.$ Tjek lige at afbildningsmatricen $\,\mathbf F\,$ nu er blevet ændret

$$\,\mathbf F=\begin{matr}{rr} 4&1\\\\2&3\end{matr}\,.$$

B

Placér trækpunktet (den blå vektor) i (1,0). Aflæs billedets koordinater? Hvad er sammenhængen til tallene i matricen?

C

Placér trækpunktet i (0,1). Aflæs billedets koordinater? Hvad er sammenhængen til tallene i matricen?

D

Placér trækpunktet i (2,-1). Aflæs billedets koordinater? Tjek ved udregning at billedets koordinater er korrekte.

Opg 3: Om egenværdier

Vi fortsætter med at eksperimentere med GeoGebra-filen LineaerAfbildning1.

A

Placer trækpunktet forskellige steder i planen – prøv at få den blå vektor og den røde vektor på linje. Det kan være en fordel at bruge gitterpunkterne.

B

Gå hen til et af de punkter, hvor blå og rød vektor er parallelle. Er der et tal (lad os kalde det λ), som ganget med den blå vektor giver den røde vektor, altså rød = λ⋅blå?

C

Skattejagt: hvor mange forskellige sådanne tal kan du finde? De kaldes EGENVÆRDIER for afbildningsmatricen $\,\mathbf F\,.$ Præmie til den der kan finde mere end to!

D

Find ved hjælp af GeoGebra-filen egenværdierne for den lineære afbildning som har afbildningsmatricen

$$\,\mathbf F=\begin{matr}{rr} 1&0\\\\2&-3\end{matr}\,.$$

Opg 4: Drejninger og spejlinger

A

Definer (igen i GeoGebra-filen LineaerAfbildning1) matricen

$$\,\mathbf F=\begin{matr}{rr} \cos(30^o)&-\sin(30^o)\\\\\sin(30^o)&\cos(30^o)\end{matr}\,.$$

ved at dobbeltklikke på styrepunkterne $\,S_1\,$ og $\,S_2\,$ og lave en passende omdefinering af koordinaterne ($\,S_1\,$ skal være første søjle, $\,S_2\,$ anden søjle). Der skal være gradtegn efter 30: tast ”Alt” + ”o” (PC) eller ”Ctrl” + ”o” (Mac).

Led efter egenværdier. Hvor mange kan du finde?

B

Åbn nu GeoGebra-filen LineaerAfbildning5. Huset afbildes på forskellig måde, afhængigt af placeringen af styrepunkterne $\,S_1\,$ og $\,S_2\,$. Kan du spejle huset i x-aksen? I y-aksen? Hvad med en drejning om (0,0)?

C

Hvad gør afbildningsmatricerne $\,\begin{matr}{rr} 1&0\\0&2\end{matr}\,$ og $\,\begin{matr}{rr} 2&0\\0&1\end{matr}\,$ ved huset?

Opg 5: Udledning af trigonometriske formler

Intro: Hvis man afbilder en vektor $\,(x_1,x_2)\,$ ved afbildningssmatricen

$$\,\mathbf R_v=\begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}\,$$

opnår man en drejning af vektoren med vinklen $v$ i positiv omløbsretning svarende til vektoren

$$\begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}\cdot\begin{matr}{r} x_1\\\\x_2\end{matr} \,.$$

Hvis man drejer vektoren en gang til med med drejningsmatricen $\,\mathbf R_v\,$ opnår man vektoren:

$$\begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}\cdot\begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}\cdot\begin{matr}{r} x_1\\\\x_2\end{matr} = \begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}^{\,2}\cdot\begin{matr}{r} x_1\\\\x_2\end{matr}\,.$$

Menne denne vektor må også kunne fremkomme ved at vi på én gang drejer den oprindelige vektor $\,(x_1,x_2)\,$ med drejningsmatricen $\,\mathbf R_{2v}\,.$ Der må altså gælde

$$\, \begin{matr}{rr} \cos(v)&-\sin(v)\\\\\sin(v)&\cos(v)\end{matr}^{\,2}=\begin{matr}{rr} \cos(2v)&-\sin(2v)\\\\\sin(2v)&\cos(2v)\end{matr}\,.$$
A

Udled ved hjælp af det ovenstående de velkendte trigonometriske formler for den “dobbelte vinkler”:

$$\cos(2v)=(\cos v)^2-(\sin v)^2\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\sin 2v=2\sin v \cos v\,. $$