\\\\( \nonumber \newcommand{\bevisslut}{$\blacksquare$} \newenvironment{matr}[1]{\hspace{-.8mm}\begin{bmatrix}\hspace{-1mm}\begin{array}{#1}}{\end{array}\hspace{-1mm}\end{bmatrix}\hspace{-.8mm}} \newcommand{\transp}{\hspace{-.6mm}^{\top}} \newcommand{\maengde}[2]{\left\lbrace \hspace{-1mm} \begin{array}{c|c} #1 & #2 \end{array} \hspace{-1mm} \right\rbrace} \newenvironment{eqnalign}[1]{\begin{equation}\begin{array}{#1}}{\end{array}\end{equation}} \newcommand{\eqnl}{} \newcommand{\matind}[3]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}_\mathrm{#3}}} \newcommand{\vekind}[2]{{_\mathrm{#1}\mathbf{#2}}} \newcommand{\jac}[2]{{\mathrm{Jacobi}_\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\diver}[2]{{\mathrm{div}\mathbf{#1} (#2)}} \newcommand{\rot}[1]{{\mathbf{rot}\mathbf{(#1)}}} \newcommand{\am}{\mathrm{am}} \newcommand{\gm}{\mathrm{gm}} \newcommand{\E}{\mathrm{E}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\mU}{\mathbf{U}} \newcommand{\mA}{\mathbf{A}} \newcommand{\mB}{\mathbf{B}} \newcommand{\mC}{\mathbf{C}} \newcommand{\mD}{\mathbf{D}} \newcommand{\mE}{\mathbf{E}} \newcommand{\mF}{\mathbf{F}} \newcommand{\mK}{\mathbf{K}} \newcommand{\mI}{\mathbf{I}} \newcommand{\mM}{\mathbf{M}} \newcommand{\mN}{\mathbf{N}} \newcommand{\mQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\mT}{\mathbf{T}} \newcommand{\mV}{\mathbf{V}} \newcommand{\mW}{\mathbf{W}} \newcommand{\mX}{\mathbf{X}} \newcommand{\ma}{\mathbf{a}} \newcommand{\mb}{\mathbf{b}} \newcommand{\mc}{\mathbf{c}} \newcommand{\md}{\mathbf{d}} \newcommand{\me}{\mathbf{e}} \newcommand{\mn}{\mathbf{n}} \newcommand{\mr}{\mathbf{r}} \newcommand{\mv}{\mathbf{v}} \newcommand{\mw}{\mathbf{w}} \newcommand{\mx}{\mathbf{x}} \newcommand{\mxb}{\mathbf{x_{bet}}} \newcommand{\my}{\mathbf{y}} \newcommand{\mz}{\mathbf{z}} \newcommand{\reel}{\mathbb{R}} \newcommand{\mL}{\bm{\Lambda}} \newcommand{\mnul}{\mathbf{0}} \newcommand{\trap}[1]{\mathrm{trap}(#1)} \newcommand{\Det}{\operatorname{Det}} \newcommand{\adj}{\operatorname{adj}} \newcommand{\Ar}{\operatorname{Areal}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Rum}{\operatorname{Rum}} \newcommand{\diag}{\operatorname{\bf{diag}}} \newcommand{\bidiag}{\operatorname{\bf{bidiag}}} \newcommand{\spanVec}[1]{\mathrm{span}{#1}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Rot}{\operatorname{\mathbf{Rot}}} \newcommand{\Jac}{\operatorname{Jacobi}} \newcommand{\Tan}{\operatorname{Tan}} \newcommand{\Ort}{\operatorname{Ort}} \newcommand{\Flux}{\operatorname{Flux}} \newcommand{\Cmass}{\operatorname{Cm}} \newcommand{\Imom}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Pmom}{\operatorname{Pm}} \newcommand{\IS}{\operatorname{I}} \newcommand{\IIS}{\operatorname{II}} \newcommand{\IIIS}{\operatorname{III}} \newcommand{\Le}{\operatorname{L}} \newcommand{\app}{\operatorname{app}} \newcommand{\M}{\operatorname{M}} \newcommand{\re}{\mathrm{Re}} \newcommand{\im}{\mathrm{Im}} \newcommand{\compl}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \\\\)

$ $

Opg 1: Opvarmningsopgave

A

Løs ligningssystemet:

\begin{align} 2x_1 +3x_2 -8x_3 &=15\
x_1 - 2x_2 + 3x_3&=-3\
5x_1 -3x_2 + x_3 &= 6 \end{align}

B

En lineær afbildning $\,f\,$ af planen ind i planen er givet ved

$$f\,\big(\,\begin{matr}{r} x\\\\y\end{matr}\, \big)=\begin{matr}{r} 4&1\\\\2&3\end{matr}\cdot \begin{matr}{r} x\\\\y\end{matr}\,.$$

Find ved udregning billederne af vektorerne $\,\begin{matr}{r} -1\\2\end{matr},\,\begin{matr}{r} 2\\2\end{matr}\,$ og $\,\begin{matr}{r} 3\\-1\end{matr}\,.$

I hvilke af de tre tilfælde er vektoren proportional (parallel) med sin billedvektor og dermed en egenvektor? Hvilken egenværdi hører egenvektoren til?

Tjek dine resultater med Geogebra-filen LineaerAfbildning1

$\,\begin{matr}{r} 2\\2\end{matr}\,$ er en egenvektor som hører til egenværdien 5.

</div> <!-- question -content 2 -->
</div> <!-- question  2 -->

</div>

Opg 2: Egenværdier og egenvektorer

En lineær afbildning $\,f\,$ af planen ind i planen er givet ved

$$f\,\big(\,\begin{matr}{r} x\\\\y\end{matr}\, \big)=\begin{matr}{r} 1&-2\\\\1&4\end{matr}\cdot \begin{matr}{r} x\\\\y\end{matr}\,.$$
A

Bestem ved udregning afbildningens egenværdier og egenvektorer.

B

Kontroller dine resultater ved at åbne Geogebra-filen LineaerAfbildning1, indstille matricen (ved at justere trækpunkterne $\,S_1\,$ og $\,S_2\,$) og afprøve de egenvektorer du har fundet, med blå vektor. Passer egenvektorerne med de fundne egenværdier?

Opg 3: Prøve i de 4 moduler om matrixregning

A

Udregn

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 3&6\\7&2\\1&5\end{matr}+\begin{matr}{rr} 3&2\\2&1\\6&4\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 5&-4\\-3&0\end{matr}+\begin{matr}{rr} 3&-2\\4&5\end{matr}$

B

Udregn

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 3&7\\2&8\end{matr}-\begin{matr}{rr} 9&4\\1&5\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 8&-5&-1\\2&9&-2\end{matr}-\begin{matr}{rr} 3&-3&-4\\8&7&-9\end{matr}$

C

Udfør de følgende matrix-produkter hvis muligt

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 4&5\\2&3\end{matr}\cdot\begin{matr}{rrr} 6&4&2\\2&1&3\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 1&3\\4&2\\0&7\end{matr}\cdot\begin{matr}{rrrr} 1&6&5&-2\\5&1&0&3\end{matr}$

$3)\,\,\begin{matr}{rrr} 6&4&2\\2&1&3\end{matr}\cdot \begin{matr}{rr} 4&5\\2&3\end{matr}$

D

Beregn determinanten af følgende matricer

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 3&4\\2&6\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 2&1\\-5&3\end{matr}$

E

Hvis $\,\mathbf A=\begin{matr}{rr} a&b\\c&d\end{matr}\,$ er invertibel, gælder der $\,\displaystyle{\mathbf A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf A)}\begin{matr}{rr} d&-b\\-c&a\end{matr}}\,.$

Bestem den inverse matrix af

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 3&4\\2&6\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 4&3\\6&5\end{matr}$

F

Løs de følgende ligninger ved hjælp af invers matrix:

$1)\,\,\begin{matr}{rr} 3&4\\2&3\end{matr}\cdot\begin{matr}{r}x\\y\end{matr}=\begin{matr}{r} 3\\1\end{matr}$

$2)\,\,\begin{matr}{rr} 6&8\\4&6\end{matr}\cdot\begin{matr}{r}x\\y\end{matr}=\begin{matr}{r} 5\\4\end{matr}$

G

Løs de to ligningssystemer ved hjælp af rækkeoperationer (Gauss-elimination):

\begin{align} -2x +3y-z &=15\
4x-4y+3z &=-9\
x-2y+2z &=3 \end{align}

\begin{align} 3x+2y-z &=-5\
5x+3y+2z &=16 \
-2x-y+4z &=21 \end{align}

H

Åbn Geogebra-filen LineaerAfbildning1. Placer punktet $\,S_1$ i (3,1) og $\,S_2$ i (2,2) således at afbildningsmatricen er

$$\mathbf F=\begin{matr}{rr} 3&1\\\\2&2\end{matr}\,.$$

Flyt rundt på blå vektor og led efter steder, hvor blå og rød vektor er parallelle.

1) Hvilke egenværdier og egenvektorer findes der?

2) Find nu egenværdierne og egenvektorerne analytisk (dvs. ved udregning).