Brug dit matematikværktøj til at tegne grafen for $\,f\,$ i intervallet $\,-2≤x≤10\,$ og find grafisk lokale maksima og minima.
B
Bestem udtryk for $\,f’(x)\,$ og find stationære punkter ved at løse ligningen $\,f’(x)=0\,.$
answer
De stationære punkter er $\,x_0=0\,$ og $\,x_1=2\,.$
C
Afprøv nu $\,f’’$-kriteriet: Bestem fortegnet for den andenafledede af $\,f\,$ i de stationære punkter og konkludér (hvis det er muligt).
answer
Da $\,f’‘(0)=2\,$ er positiv, har $\,f\,$ lokalt minimum i $\,x_0=0\,.$
Da $\,f’‘(2)=-\frac 2{\e^2}\,$ er negativ, har $\,f\,$ lokalt maximum i $\,x_1=2\,.$
D
Kig igen på grafen for $\,f\,,$ og beskriv hvordan $\,f’’\,$ karakteriserer funktionen i de stationære punkter.
E
Brug dit matematikværktøj til at beregne forskellige højeregrads taylorpolynomier, og plot dem sammen med den givne funktion. Prøv f.eks. $\,P_{7}(x)\,$ med forskellige udviklingspunkter. Har du kommentarer?
Opg 2: Lokale maksima og minima i to variable
Vi undersøger i denne opgave funktionen
$$\,f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2\,.$$
A
Start med at tegne grafen for $\,f\,$ når $\,x\in\left[-2,2\right]\,$ og $\,y\in\left[-2,2\right]\,.$
B
Find de partielle afledede for $\,f\,$ både i hånden og med dit matematikværktøj.
answer
$\,f’_x(x,y)=6x^2-6y\,$ og $\,f’_y(x,y)=-6x+6y\,.$
C
Find de stationære punkter for $\,f\,,$ både i hånden og med dit matematikværktøj.
hint
De stationære punkter for en funktion af to variable er de punkter hvori begge de partielle afledede er 0.
answer
Der er to stationære punkter: $\,(0,0)\,$ og $\,(1,1)\,.$
Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for en funktion $\,f\,$ af to variable med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)\,$ forstås funktionen:
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for $\,f\,$ med udviklingspunktet $\,(\frac 12,\frac 12)\,.$ Plot tangentplanen sammen med grafen for $\,f\,.$
answer
$$P_1(x,y)=\frac 14-\frac 32\,x\,.$$
E
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af første orden for $\,f\,$ med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for $\,f\,$ og kommentér.
F
Find de fire partielle afledede af anden orden for $\,f\,$ både i hånden og med dit matematikværktøj, og opstil dem i den såkaldte hessematrix $\,\mathbf H\,.$
Ved det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for en funktion $\,f\,$ af to variable med udviklingspunktet $\,(x_0,y_0)\,$ forstås funktionen:
$$P_2(x,y)=P_1(x,y)+\frac 12 \left[\,x-x_0\,\, y-y_0\,\right]\cdot \mathbf H \cdot \begin{matr}{c}x-x_0\\\\ y-y_0\,\end{matr}\,.$$
G
Bestem det approksimerende polynomium (Taylorpolynomiet) af anden orden for $\,f\,$ med udviklingspunkt i hvert af de stationære punkter, plot dem sammen med grafen for $\,f\,$ og kommentér!
hint
For at få dit værktøj til at plotte polynomiet er det nok nødvendigt at du først for skrevet udtrykket ud uden matricer: Kort sagt du skal udregne to matrixprodukter.
answer
Med udviklingspunktet $\,(1,1)\,$ fås
$$\,P_2(x,y)=6x^2-6xy+3y^2-6x+2\,.$$
Grafisk inspektion: $\,P_2\,$ er en såkaldt opadvendt elliptisk parabloide, og $\,f\,$ har lokalt minimum i $\,(1,1)\,$ med værdien $\,f(1,1)=-1\,.$
Med udviklingspunktet $\,(0,0)\,$ fås
$$\,P_2(x,y)=-6xy+3y^2\,.$$
Grafisk inspektion: $\,P_2\,$ er en såkaldt hyperbolsk parabloide.$\,f\,$ har saddelpunkt i punktet $\,(0,0)\,.$
For en funktion af to variable svarer Determinant kriteriet til $\,f’’$-kriteriet for en funktion af én variabel. Det siger:
Hvis Det$(\mathbf H)>0\,$ i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt ekstremum i det punkt.
Hvis Det$(\mathbf H)<0\,$ i et stationært punkt, har $\,f\,$ saddelpunkt i det punkt.
Hvis Det$(\mathbf H)=0\,$ i et stationært punkt, vides det ikke om $\,f\,$ har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
G
Bestem fortegnet for Det$(\mathbf H)\,$ i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?
Determinant-kriteriet kan skærpes med egenværdi kriteriet: Det siger:
Hvis begge egenværdier for $\,\mathbf H\,$ er positive i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt minimum i det punkt.
Hvis begge egenværdier for $\,\mathbf H\,$ er negative i et stationært punkt, har $\,f\,$ lokalt maksumum i det punkt.
Hvis egenværdierne for $\,\mathbf H\,$ i et stationært punkt har forskelligt fortegn, har $\,f\,$ saddelpunkt i det punkt.
Hvis mindst den ene af egenværdierne er lig med 0, vides det ikke om $\,f\,$ har lokalt ekstremum, saddelpunkt eller ingen af delene i det punkt. Videre undersøgelse kræves.
G
Bestem egenværdierne for $\,\mathbf H\,$ i hvert af de stationære punkter. Stemmer resultatet med dine grafiske iagttagelser i spørgsmål G?
Opg 3: Lokale maksima og minima i to variable
Gentag undersøgelsen i opgave 2 med denne funktion:
